|
|
|
| Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии | |
Стартовая страница |
О системе |
Технические требования |
Синтез |
Обучающий модуль |
Справка по системе |
Контакты |
 | Дифракционная расходимость светового пучка |
 | |
Анимация
Описание
Абсолютно любые пучки света, пространственно ограниченные по поперечным (по отношению к направлению распространения) координатам, подвержены “поперечному расплыванию” по мере распространения. Это свойство электромагнитного излучения, будучи совершенно очевидным с позиций как классической электродинамики так и квантовой механики, в силу ряда причин исторического характера до сих пор зачастую рассматривается как отдельное явление и называется дифракцией света.
Дело в том, что к величайшему сожалению до сих пор геометрооптическое представление о “лучах”, то есть прямолинейных в свободном пространстве пучках света бесконечно малого диаметра, зачастую оказывается самодовлеющим коль скоро речь заходит об оптике. На деле же это представление верно “с точностью до наоборот”.
Именно, волновое уравнения, являющееся точным следствием уравнений Максвелла для электрического поля электромагнитной волны в свободном пространстве, гласит:
, (1)
где E - электрическое поле волны (для простоты взятое в скалярном виде, то есть волна линейно поляризована);
с - скорость света в ваккуме.
Отметим, что вышеупомянутое скалярное упрощение никак не влияет на выводы, полученные ниже.
Единственным прямолинейно распространяющимся решением этого уравнения являются плоские волны:
(2)
Здесь k и w - соответственно волновой вектор и частота волны. Такая волна и распространяется в направлении своего волнового вектора прямолинейно, будучи бесконечной в перпендикулярном ему направлении по определению. Указанные плоские волны образуют полный базисный набор. То есть любое пространственно-ограниченное распределение поля, осциллирующее сфазированно с частотой w может быть представлено в виде суперпозиции таких волн. Это самое так хитро названное распределение и есть ни что иное как пространственно-ограниченный пучок когерентного (сфазированного) монохроматического (частота w) излучения. В свою очередь любое немонохроматическое излучение может быть представлено в виде линейной суперпозиции только что упомянутых пучков различных частот.
При внимательном рассмотрении очевидно, что вышеуказанное разложение пучка по плоским волнам есть ни что иное как преобразование Фурье пространственного профиля поля волны по пространственным координатам.
Рассмотрим условный излучатель, локализованный в плоскости XY координатной системы рис. 1.
Иллюстрация расчета дифракционной расходимости поперечно-ограниченного пучка
Рис. 1
Пусть излучатель будет сфазирован, то есть распределение как амплитуды, так и фазы его электромагнитных колебаний по поверхности регулярно:
. (3)
Здесь нужно отметить ряд существенных деталей.
Во-первых, любой несфазированный излучатель (то есть j=j(х,у,t), случайная функция временного аргумента) может быть представлен в виде совокупности сфазированных.
Во-вторых, любой немонохроматический излучатель опять же может быть представлен в виде линейной комбинации монохроматических.
В третих, сам термин “излучатель” в данном рассмотрении вполне условен. Именно, в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля, таковым может оказаться любой вторичный излучатель, то есть просто имеющееся в данной плоскости распределение электрического поля какой-либо волны, пришедшей, для определенности, из левого полупространства рис. 1. Говоря попросту, наш излучатель может быть диафрагмой, освещенной слева некоторой волной, да и не только диафрагмой, а вообще любой амплитудной или фазовой маской. Может он также оказаться просто наугад взятым сечением распространяющегося слева пучка. Может быть и настоящим излучателем, например куском плоской поверхности нагретого металла. Смысл в том, что этот пучок ограничен в плоскости (распределение амплитуды A(x,y)), а также в том, что нам неважно, что до этого было слева. Действительно, в силу принципа Гюйгенса-Френеля он представляет собой полный ансамбль вторичных излучателей, и соответственно информация о распределении поля в этой плоскости вполне достаточна для определения распределения поля волны во всем правом полупространстве.
В четвертых, в случае когда источник - просто сечение имеющегося пучка, выбор этого сечения произволен. Поэтому удобно сориентировать плоскость XY перпендикулярно исходному направлению распространения пучка, а его условный центр (если таковой имеется) поместить в начало координат. Более того, если возможно, лучше выбрать поперечное сечение, в котором волновой фронт плоский (j(х,у)=const, например фокальная перетяжка Гаусова пучка, фокусированного линзой, круглая или прямоугольная диафрагма, подсвеченая условно плоской волной и т.п.). Одновременно отметим, что все это просто упрощает расчеты, но не обязательно необходимо - приведенные ниже результаты справедливы для любого наугад взятого сечения.
В указанной выше постановке задача о распространении излучения в правой полуплоскости решается крайне просто. Именно, достаточно сообразить, что распределение поля излучателя в плоскости XY является просто граничным условием для уравнения (1). Произведя преобразование Фурье уравнения (1) и граничного условия (3) по x,y,t, получим:
. (4)
Здесь G=G(kx, ky, w, z) - Фурье-компонента поля Е по x,y,t, то есть амплитуда соответствующей плосковолновой составляющей поля волны в правом полупространстве; а(kx,ky,w) - такая же Фурье-компонента граничного условия (3), то есть поперечного распределения поля излучателя. Величина kz представляет собой ни что иное как z-компоненту волнового вектора соответствующей плосковолновой компоненты поля:
.
Решение системы (4) тривиально, можно немедленно получить:
.
То есть поперечный Фурье-спектр пучка, распространяющегося в правом полупространстве, тождественнен Фурье-спектру излучателя. Глядя на рис. 1, легко сообразить, что указанный поперечный Фурье-спектр по сути дела и есть кгловой спектр полученного излучения. Именно, каждая пара значений kx, ky однозначно ссответствует двумерному углу отклонения пучка от оси z:
.
В принципе написанного достаточно, чтобы рассчитывать угловой спектр источников (как первичных так и вторичных) с произвольным наперед заданным распределением амплитуды и фазы поля. Приведем несколько конкретных примеров.
Пример 1. Щелевая диафрагма ширины 2d, подсвеченная плоской волной, падающей нормально к плоскости диафрагмы.
В этом случае j=const, A(x,y)=A при -d<x<d; A(x,y)=0 при x>d, x<-d. Величина а(kx, ky, w) легко рассчитывается аналитически:
Что касается угловой расходимости, то, будучи определена по критерию полной ширины по первому нулю интенсивности (FW0M), она равна FW0M=l/d в направлении оси Х и нулю в направлении оси Y.
Пример 2. Прямоугольная диафрагма ширины 2d, высоты 2a, подсвеченная плоской волной, падающей нормально к плоскости диафрагмы.
В этом случае j=const, A(x,y)=A при -d<x<d, -a<y<a; A(x,y)=0 при x>d, x<-d, y>a, y<-a. Величина а(kx, ky, w) легко рассчитывается аналитически:
Что касается угловой расходимости, то, будучи определена по критерию полной ширины по первому нулю интенсивности (FW0M), она равна FW0M=l/d в направлении оси Х и FW0M=l/a в направлении оси Y.
Пример 3. Круглая диафрагма диаметра d, подсвеченная плоской волной, падающей нормально к плоскости диафрагмы.
В этом случае j=const, A(x,y)=A при r<d/2; A(x,y)=0 при r>d/2, здесь r - циллиндрическая координата в плоскости диафрагмы. Расчет полностью аналогичен предыдущему, ответ гласит:
.
Здесь J0 - функция Бесселя нулевого порядка. Что касается угловой расходимости, то, будучи определена по критерию полной ширины по первому нулю интенсивности (FW0M), она равна FW0M=1,22l/d по любому направлению.
Пример 4. Круглая диафрагма нулевого диаметра, но с конечным пропусканием, подсвеченная плоской волной, падающей нормально к плоскости диафрагмы. Пример нереален, но легко сообразить, что мы пытаемся смоделировать “бесконечно тонкий луч” из геометрической оптики.
В этом случае j=const, A(x,y)=Ad(r), здесь r - циллиндрическая координата в плоскости диафрагмы. Расчет полностью аналогичен предыдущему, ответ гласит:
.
То есть мы получили, как и следовало ожидать, “белый” угловой спектр, соответствующий расходимости пучка во всем телесном угле 2p. Поэтому, говоря о “лучах”, нужно понимать, что на самом деле разговор идет о достаточно “толстых” (в масштабах длины волны) пучках из предыдущего примера.
Пример 5. Перетяжка Гауссова пучка характерного радиуса а с плоским волновым фронтом.
В этом случае j=const, A(x,y)=Aexp(-r2/a2), здесь r - циллиндрическая координата в плоскости диафрагмы. Расчет полностью аналогичен предыдущему, ответ гласит:
Здесь 
- полная поперечная направлению распространения компонента волнового ветора. Что касается угловой расходимости, то, будучи определена по критерию полной ширины по е -1 от максимума интенсивности (FWe-1M), она равна FWe-1M =l/2pa по любому направлению.
Из вышеприведенных примеров видно, что в то время как конкретная форма углового спектра пространственно-ограниченного пучка существенно зависит от распределения амплитуды и фазы поля в эквивалентном плоском источнике, хоарактерная угловая расходимость может для любой его формы по порядку величины быть оценена как l/d, то есть отношение длины волны излучения к характерному поперечному размеру источника (диафрагмы, фокальной перетяжки и т.п.)
Ключевые слова
Разделы наук
Применение эффекта
Дифракционные расходимости с точки зрения техники являются скорее паразитным эффектом. Именно этими расходимостями, в конечном счете, ограничивается разрешение дифракционных и призменных спектрометров, они же препятствуют детектированию лазерных пучков не больших расстояниях (например, с околоземных орбит), и т.п. Поэтому правильная оценка дифракционных расходимостей пучков имеет зачастую решающее значение при проектировании оптических измерительных приборов, линий связи и лазерной военной техники.
Реализации эффекта
Техническая реализация эффекта
Для технической реализации достаточно расширить пучок гелий-неонового лазера стандартным телескопом до диаметра порядка 5 мм, внести в него круглую диафрагму диаметром 30-50 мкм, и на экране, отстоящем от диафрагмы примерно на метр, пронаблюдать увеличение расходимости пучка и образование характерной “Бесселевой” кольцевой структуры вокруг него.
Литература
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика.- М.: Наука, 1985.
2. Ландсберг Г.С. Оптика.- М.: Наука, 1976.
3. Физика. Большой энциклопедический словарь.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.- С.90, 460.
4. Новый политехнический словарь.- М.: Большая Российская энциклопедия, 2000.- С.20, 231, 460.
| Стартовая страница О системе Технические требования Синтез Обучающий модуль Справка по системе Контакты | |
 |
|
| Copyright © 2008 РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина | |
