|
|
|
| Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии | |
Стартовая страница |
О системе |
Технические требования |
Синтез |
Обучающий модуль |
Справка по системе |
Контакты |
 | Затухание гармонических колебаний линейных механических систем |
 | |
Анимация
0
Описание
Когда при движении механической колебательной системы в ней действуют силы трения, возбужденные в ней свободные колебания затухают с течением времени и система постепенно возвращается в равновесное состояние.
Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии колебательной системой, называются затухающими. Механическая колебательная система обладает в общем случае как кинетической, так и потенциальной энергиями. Причем потенциальная энергия как функция обобщенных координат имеет минимум. Потери энергии системой обусловлены превращением ее в теплоту при трении.
Рассмотрим систему, колебания которой описывают функцией x = x(t), являющейся решением дифференциального уравнения второго порядка:
d2x/dt2 + 2b·dx/dt + w02·x = 0, (1)
где b и w0 - положительные постоянные.
Это уравнение выражает некоторый физический закон, определяющий поведение рассматриваемой системы (как правило просто второй закон Ньютона или, в случае использования криволинейных обобщенных координат, его следствия типа уравнений Эйлера-Лагранжа или уравнений Гамильтона). Так как записанное дифференциальное уравнение является линейным, рассматриваемая колебательная система также называется линейной. Параметр b называют коэффициетом затухания колебаний. Частота w0 зависит от параметров колебательной системы. Например, для пружинного маятника 
. Общее решение уравнения (1) имеет вид:
x(t) = a·exp(-bt)·cos(wt + a), (2)
где a и a - постоянные.
Функция (2) описывает затухающие колебания. График этой функции показан на рис. 1.
Затухающие колебания
Рис. 1
Частота w затухающих колебаний определяется формулой:
, (3)
которая имеет смысл только в том случае, когда коэффициет затухания b меньше частоты w0:
b < w0. (4)
Величину:
A(t) = a·exp(bt), (5)
называют амплитудой затухающих колебаний. Как видно из этой формулы амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. График функции (5) показан на рис. 2.
Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
Рис. 2
Величину:
t = 1/b
называют временем релаксации колебаний. За это время амплитуда колебаний уменьшается в e раз:
A(t)/A(t + t) = e.
Формула:
l = ln (A(t)/A(t + T)),
где T = 2p/w - период колебаний,
определяет логарифмический декремент затухания l, который связан с периодом и коэффициентом затухания соотношением:
l = bT.
За время t система совершает число колебаний:
N = t /T = 1/l.
Таким образом, логарифмический декремент затухания l есть величина обратная числу колебаний, совершаемых за время релаксации.
Ключевые слова
Разделы наук
Применение эффекта
Затухающие колебания механических систем используются в автомобильных амортизаторах, успокоителях стрелочных измерительных приборов, виброизолирующих опорах станочного оборудования и оптических стендов и т.п.
Реализации эффекта
Простейшая техническая реализация состоит в осуществлении колебаний маятника математического в жидкой среде (вода, глицерин и т.п.).
Техническая реализация затухающих колебаний. Математический маятник колеблется, будучи погружен в вязкую жидкость
Рис. 3
Литература
1. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1974.- С.942.
2. Горелик Г.С. Колебания. - М.: Государственное издательство технико-теоретическое издательство, 1950. - С. 551.
| Стартовая страница О системе Технические требования Синтез Обучающий модуль Справка по системе Контакты | |
 |
|
| Copyright © 2008 РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина | |