Для анизотропного диэлектрика становится неверной простая зависимость D = εE, которой пользуются при описании любой изотропной среды.
В случае прохождения электромагнитной волны через анизотропную среду связь между D и Е задается более сложным соотношением:

Эти уравнения можно переписать в более компактной форме:

Девять величин являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости, следовательно, вектор D равен произведению этого тензора на вектор Е.
Решения уравнений Максвелла в этом случае показывают, что тензор диэлектрической проницаемости должен быть симметричным, т.е. ε_kl = ε_lk.
Для любого кристалла можно найти три главных направления и связать их с координатными осями x, y, z. В этом случае тензор диэлектрической проницаемости примет диагональный вид и связь D и Е упростится:

В выбранных таким образом координатах x, y, z выполняется соотношение:

Это есть уравнение некого эллипсоида. Его называют эллипсоидом Френеля.

Эллипсоид Френеля - эллипсоид показателя преломления, соответствующий поверхности световой волны, распространяющейся от точечного источника в кристалле. Длины осей эллисоида Френеля пропорциональна значениям главных лучевых скоростей света в кристалле. Эллипсоид Френеля описывается уравнением e_xx²+e_yy²+e_zz²=1, где e_x, e_y, e_z — значения диэлектрической проницаемости по главным осям кристалла. Эллипсоид Френеля позволяет определить лучевые скорости света по любым направлениям. В общем случае поверхность волны двухполостная, что соответствует распространению в каждом направлении с разными скоростями двух волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях. Из всех центральных сечений эллипсоида Френеля два сечения имеют форму круга; в направлениях, перпендикулярных этим сечениям, скорости обыкновенной и необыкновенной волн равны. Это — направления оптических осей кристалла.

Взяв квадратные корни из диэлектрических проницаемостей и отложив длины в направлении каждой из осей пропорциональные их значениям, получим эллипсоид Френеля. (Рис.1). Эллипсоид Френеля описывает диэлектрические свойства материала измеренные во всех направлениях. Произвольно взятый радиус эллипсоида представляет собой величину квадратного корня из диэлектрической проницаемости для произвольной электромагнитной волны, электрический вектор которой лежит в направлении этого радиуса.
 

Плоскость поперечного сечения, проходящая через центр эллипсоида образует эллипс показателя преломления для волны, распространяющейся в направлении перпендикулярном этой плоскости. Главные и побочные оси этого эллипса дают показатели преломления столкнувшихся медленной и быстрой волн, вектора электрического смещения которых колеблются вдоль этих двух осей.
Эллипсоид Френеля используется для получения эллипса показателя преломления путем проведения плоскости поперечного сечения, перпендикулярного направлению распространения света. Для света, распространяющегося в произвольном направлении, эллипс получается путем проведения главного поперечного сечения, перпендикулярно направлению распространения. Эллипс Френеля дает показатели преломления и обозначает направление колебаний (по электрическому вектору) световой волны, потому что волны колеблются с электрическими векторами, параллельными главной или побочной осям эллипса.

Пусть естественный свет падает на границу раздела двух сред под произвольным углом и произвольной ориентацией вектора Е (рис.1). Сориентируем оси системы координат, главные оси кристалла и световую волну так, что n_e || z, n_o || x, тогда рассматриваемый случай будет плоским.

Так как n_e ≠ n_o, то φ₁ ≠ φ₂, следовательно в кристалле будут распространяться две разные волны со взаимно перпендикулярными векторами Е в различных направлениях. Впервые это явление открыл Эразм Бартолини, а объяснил его с волновых позиций Гюйгенс. Оно было названо двойным лучепреломлением.
Световые волны, проходя через кристаллы, проявляют интерференцию. Эти явления очень красочны и информативны. По интерференционной окраске кристаллов можно судить об осности кристаллов, ориентации оптических осей, анизотропии показателя преломления.
Кристаллы наблюдают в поляризованном ортоскопическом и коноскопическом свете.

Проанализируем несколько случаев прохождения света через одноосный кристалл.

Пусть вектор Е в падающей волне направлен вдоль оси z, тогда для падающей волны, распространяющейся вдоль оси x (рис. 1)

.

Внутри кристалла, если его оптическая ось параллельна оси z, будет распространятся волна

,

где V'_x = c/n_e.
 

Рассуждения аналогичные рассуждениям, приведеным для случая Е || z,  т.е. после выхода из кристалла свет имеет плоскую поляризацию параллельную соответствующей оси.

Пусть теперь вектор Е в падающем луче лежит в плоскости yz и составляет угол α с осью z (рис.1).

Разложим Е на составляющий E_z и E_y, тогда в кристалле будут распространяться две волны со взаимно перпендикулярными колебаниями векторов Е. Они будут иметь разные скорости:

В зависимости от толщины кристалла между E^'_z и E^'_y возникнет разность фаз δ и следовательно на выходе в общем случае получится эллиптически поляризованная волна.