Рассмотрим некую механическую систему (совокупность материальных точек, т.е. тел, размерами которых при данных условиях можно пренебречь). Существуют два типа сил, действующих на материальные точки системы: внутренние силы (действие других частей системы) и внешние силы (действие внешней среды на систему).

Замкнутой называется такая механическая система, на которую не действуют внешние силы. Рассматриваемый закон справедлив именно для замкнутых систем.   Запишем для каждой точки системы второй закон Ньютона:. Здесь – сила, с которой j-я точка действует на i-ю, – i-я внешняя сила, действующая на j-ю точку. Сложим все уравнения для различных точек системы. По третьему закону Ньютона все внутренние силы будут парными, т.е. , таким образом, сумма внутренних сил в выражение для производной полного (суммарного) импульса системы не войдет. Поскольку система предполагается замкнутой, внешние силы на неё также не действуют, следовательно:            Выберем некоторую систему отсчета и умножим последнее равенство векторно на радиус-вектор (проведенный в центр масс системы) справа и слева: Рассмотрим теперь величину , называемую моментом количества движения (моментом импульса). В данном случае речь идет о полном (суммарном) моменте количества движения системы, поскольку в произведение входит полный импульс системы. Возьмем от этой величины производную по времени:

Здесь v – скорость центра масс системы (по определению скорость есть производная от радиус-вектора по времени), М – суммарная масса системы. Поскольку производная по времени от момента количества движения равна нулю, момент количества движения системы не меняется со временем.   Для множества вращательных движений момент импульса равен произведению момента инерции тела (сумма или интеграл по массам объектов системы, умноженным на квадрат радиус-вектора соответствующего объекта) на вектор угловой скорости (вектор, направленный вдоль оси вращения и равный по модулю значению угловой скорости).          Это утверждение может быть доказано другим способом. В теоретической механике любая система описывается так называемой функцией Лагранжа. Инвариантность такой функции к бесконечно малому повороту и выражает сохранение момента количества движения. Данный закон справедлив для любой замкнутой системы, его нарушение никогда не наблюдалось экспериментально, он является одним из частных случаев теоремы Нётер, сопоставляющей любой симметрии физических систем закон сохранения. Сохранение момента количества движения есть прямое проявление изотропности нашего пространства (пространство не имеет выделенных направлений, любые два направления обладают одинаковыми свойствами). Закон довольно точно выполняется и для незамкнутых систем, в которых внешние силы действуют в течение исчезающе малого промежутка времени (удар, толчок).  

В мегамире закон сохранения момента импульса объясняет наблюдаемую форму галактик. Каждая галактика образовывалась из очень большой массы газа (порядка кг), обладающей первоначальным моментом импульса (галактика приближенно может считаться замкнутой системой, так как силовое воздействие галактик мало из-за огромных расстояний между ними).
Широкое применение в современной технике имеет гироскоп. Гироскоп – это осесимметричное тело, быстро вращающееся вокруг своей геометрической оси. Простейшим примером этого прибора служит знакомая всем с детства игрушка – волчок. Ось вращения сохраняет свое направление в пространстве неизменным, если для удержания гироскопа использовать так называемый карданов подвес. Такие устройства нашли широкое применение в авиации и космонавтике.

Так называемая “скамейка Жуковского” – кресло, которое может вращаться вокруг своей оси. Человеку, садящемуся в кресло, дают две гантели и раскручивают его. Человек, сгибая и разгибая руки, меняет свой момент инерции, что приводит к изменению угловой скорости вращения (при этом момент количества движения, равный произведению момента инерции на угловую скорость, не изменяется).

 

Гирокомпас – прибор, указывающий направление на земной поверхности; в его состав входят один или несколько гироскопов. Такой тип компаса используется почти повсеместно в системах навигации и управления крупных морских судов; в отличие от магнитного компаса, его показания связаны с направлением на истинный географический (а не магнитный) Северный полюс. Морской гирокомпас, как правило, очень тяжел; в некоторых конструкциях вес гироскопического ротора превышает 25 кг.