Сохранение количества движения изолированной системой взаимодействующих тел
Сохранение количества движения изолированной системой взаимодействующих тел
Анимация
Описание
Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, внешними – силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой.
Для замкнутых систем остаются постоянными (сохраняются) три физические величины: энергия, импульс и момент импульса. Соответственно имеются три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Эти законы тесно связаны со свойствами времени и пространства.
Рассмотрим систему, состоящую из N частиц (материальных точек). Обозначим через Fik силу, с которой k-я частица действует на i-ю (первый индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс – номер частицы, воздействием которой обусловлена эта сила). Символом Fi обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ю частицу. Напишем уравнения движения всех N частиц:
=F12+F13 + ... + F1k+ ... + F1N+F1=,
=F21 + F23 + ... + F2k+ ... + F2N + F2=,
=Fi1 + Fi2 + ... + Fik + ... + FiN + Fi =,
=FN1 + FN2 + ... + FNK + ... +FN,N-1 + FN =
(pi – импульс i-й частицы).
Сложим вместе эти уравнения. Слева получится производная по времени от суммарного импульса системы:
.
Справа отличной от нуля будет только сумма внешних сил Fi. Действительно, сумму внутренних сил можно представить в виде
Согласно третьему закону Ньютона, каждая из скобок равно нулю. Следовательно, сумма внутренних сил, действующих на тела системы, всегда равна нулю:
.
С учетом этого получим, что
. (1)
Таким образом, производная по времени от суммарного импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на тела системы.Если система замкнута, внешние силы отсутствуют и правая часть уравнения (1) равна нулю. Соответственно dp/dt = 0 и, следовательно,p=const.
Итак, мы пришли к выводу, что суммарный импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Это утверждение составляет содержание закона сохранения импульса.
В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы. Поведение системы на новом месте будет таким же, каким оно было бы на прежнем месте.
Заметим, что согласно формуле (1) импульс остается постоянным и у незамкнутой системы в том случае, если сумма всех внешних сил равна нулю.
Спроектировав все векторы, фигурирующие в уравнении (1), на некоторое направлениеx, получим
, (2)
().
Согласно (2), для того, чтобы сохранялась проекция суммарного импульса на некоторое направление, достаточно равенства нулю проекции на это направление суммы внешних сил; сама эта сумма может быть отличной от нуля.
Законы сохранения не зависят от природы и характера действующих сил. Поэтому с их помощью можно сделать ряд важных заключений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы остаются неизвестными.
Закон сохранения количества движения изолированной системой взаимодействующих тел обычно используется вместе с понятием центра масс.
Любое твёрдое тело состоит из молекул, взаимодействующих между собой и совершающих хаотическое движение. Однако тело сохраняет состояние покоя, если на него не действуют внешние силы. Сумма импульсов всех молекул равна нулю и сохраняет это значение. Если же на какую-то его часть подействовать силой, то тело придёт в движение как единое целое. Импульс частиц, подвергшихся воздействию, изменился и перестал компенсироваться остальными. Каждая частица продолжит совершать "своё" движение, но все вместе приобретут составляющую скорости, в среднем, по направлению действия силы.
Реализации эффекта
Чтобы произошла ядерная реакция, очевидно, энергия начальных частиц должна равняться энергии продуктов. Однако кинетическая энергия частиц будет равна разности масс частиц в конце и в начале только в системе центра инерции. В ней полный импульс системы равен нулю, и энергия после реакции будет сосредоточена только в частицах. Двигаться система не будет.
Если же "мишень" покоится, то импульс системы мишень – снаряд не равен нулю, и продукты реакции будут двигаться. Энергия налетающей частицы должна быть больше разности масс продуктов и исходных. Эта энергия находится путём записывания законов сохранения энергии и импульса в двух системах координат – центра инерции и мишени. Для полноты к системе добавляются релятивистские инварианты энергии – импульса в соответствующих системах.
справедливо для любой инерциальной системы координат. В лабораторной системе координат, когда налетающей частицей является частица a, а частица A до столкновения покоится, имеем
Еa + mAc2 = Eb + EB = (1)
(2)
В системе центра инерции
, (3)
. (4)
В соотношениях (cl.10, cl.12) E– полная энергия (E = T + mc2, где T– кинетическая энергия). Кинетическая энергия налетающей частицы в л.с. равна пороговой, когда в с.ц.и. кинетические энергии продуктов реакции равны 0, т.е.
; ; ; (5)
; . (6)
Выпишем релятивистский инвариант в с.ц.и.
. (7)
В лабораторной системе, учитывая, что Ea = mаc2 +Tпор,
. (8)
Подставив в (8) вместо импульса его выражение через кинетическую энергию, получим
. (9)
Учитывая, что 8 и 9 – инвариант энергии-импульса, записанный в разных системах отсчёта и по определению не меняющийся при переходе между ними, получим
, (10а)
или
(10б)
где Q– энергия реакции, ma– масса налетающей частицы, mA– масса ядра мишени.
В нерелятивистском приближении (Q<< 2mAc2)
(10в)
Отметим, что соотношения (10б), (10в) справедливы и для реакций с любым количеством частиц в конечном состоянии.
Литература
1. Бутиков Е. И. , Кондратьев А. С. Физика. Книга 1. Механика. – Физматлит, 2001.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 1. Механика. – Физматлит, 2004.
=F12 + F13 + ... + F1k + ... + F1N + F1=
,
=F21 + F23 + ... + F2k + ... + F2N + F2=
,
=Fi1 + Fi2 + ... + Fik + ... + FiN + Fi =
,
=FN1 + FN2 + ... + FNK + ... +FN,N-1 + FN =
.
.
. (1)
, (2)
). 
(1)
(2)
, (3)
. (4)
;
; 
; (5)
; 
. (6)
. (7)
. (8)
. (9)
, (10а)
(10б)
(10в)
1. Бутиков Е. И. , Кондратьев А. С. Физика. Книга 1. Механика. – Физматлит, 2001.
