Твердое тело как микроскопический объект представляет собой в целом очень сложную систему, это N сильно взаимодействующих друг с другом атомов, образующих вместе единую связанную систему - гигантскую N - атомную молекулу с огромным числом внутренних степеней свободы, возбуждение которых и составляет основу теплового движения твердого тела. Будем полагать, что:
а) пространственная кристаллическая решетка совершенно правильная, без каких либо дефектов, а сам кристалл - одноатомный, т.е. в каждом узле решетки находится только один атом (без дополнительных внутренних степеней свободы);
б) ограничимся только гармоническим приближением, т.е. случаем малых колебаний пространственной решетки, заполненной по узлам точечными массами. С точки зрения механики движения такой N - атомной молекулы, представляющей собой 3N связанных осцилляторов, может быть приведено к 3N нормальным колебаниям, т.е. не зависящим друг от друга гармоническим колебаниям с разными собственными частотами, образующими набор значений {ω}. При этом каждое нормальное колебание представляет собой суперпозицию смещений сразу очень большого числа узлов решетки, это характерный коллективный эффект сразу для всего кристалла. в целом. Так как все собственные колебания считаются независимыми друг от друга, то микроскопическое значение энергии системы равно сумме слагаемых :

 

В 1818 г. П.Дюлонг и А.Пти (P.Dulong and A.Petit) экспериментально установили закон, согласно которому теплоемкость С_V всех твердых тел при достаточно высокой температуре есть величина постоянная , не зависящая от температуры и составляющая около 3R 25 Дж/( моль К) – значение Дюлога–Пти, т.е. при нагревании любого вещества на 1К каждый атом поглощает одинаковое количество энергии 3kB . В классической модели твердого тела это объясняется как сумма кинетической энергии, по kBТ/2 на каждую степень свободы (равнораспределение), и потенциальной энергии, равной кинетической. Т.е. энергия 1 моля вещества – U = 3NakBT, а его теплоемкость – С_V = ( U/ T)V = 3NakB = 3R, в полном соответствии с законом Дюлонга–Пти. Однако, приведенное согласие нарушается, если учесть, что в кристалле кроме атомов имеются квазисвободные электроны проводимости, которые согласно классической статистике, так же как и атомы, должны обладать кинетической энергией по kBТ/2 на каждую из 3–х степеней свободы, т.е. полная энергия, и соответственно, теплоемкость одновалентного металла в 1.5 раза больше, чем значение Дюлонга–Пти, а именно, С_V = (9/2)R. Т.о. в рамках классического подхода остается необъяснимым, почему электроны не дают вклад в теплоемкость? Второй принципиальный вопрос, на который классический подход не дает правильного ответа – вопрос о температурной зависимости теплоемкости. В отличие от классического предсказания, экспериментальные данные свидетельствуют о том, что С_V=const. Эти проблемы решены в квантовой теории динамики решетки.

В 1819 г. Дюлонг, совместно с А.Т. Пти, установил закон теплоёмкости твёрдых тел, согласно которому произведение удельных теплоёмкостей простых твёрдых тел на атомную массу образующих элементов есть величина приблизительно постоянная (в современных единицах измерения равная примерно 25 Дж/(г•К); ныне это соотношение носит название "закон Дюлонга – Пти". Закон удельной теплоёмкости, довольно долгое время остававшийся незамеченным современниками, послужил впоследствии основой метода приближённой оценки атомных масс тяжёлых элементов. В 1818 г. Дюлонг и Пти вывели также общую формулу для скорости охлаждения твёрдых тел. Метод, основанный на законе Дюлонга и Пти, согласно которому атомная теплоёмкость простого вещества в твёрдом состоянии (т. е. произведение его удельной теплоёмкости на молярную массу атомов) есть величина постоянная и равная в среднем 26 Дж/((К ·моль). Из закона Дюлонга и Пти следует, что разделив 26 на удельную теплоёмкость простого вещества, легко определяемую экспериментально, можно найти приблизительное значение атомной массы данного элемента.

Техническая реализация - закон теплоемкости Дебая учитывают при проведении теплофизических криогенных расчетов в случае низких температур, например при расчете магнитно - калорического эффекта, используемого как способ достижения особо низких температур (менее 1 К). Такое охлаждение оказывается особо эффективным, поскольку согласно закону теплоемкости Дебая, теплоемкость всех твердых тел вблизи Т =0 К сильно (как Т 3) убывает при уменьшении Т. Для охлаждения до сверхнизких температур используют изотермическое намагничивание - адиабатическое размагничивание парамагнитной соли. Закон теплоемкости Дебая используют для оценочных расчетов теплоемкости, теплопроводности, электропроводности веществ, рассеяния излучений веществами при низких температурах порядка 0 - 100 К. Для проведения таких расчетов для каждого вещества подобрана по сопоставлению с экспериментальными данными своя температура Дебая, она обычно приводится в справочниках.

Закон теплоемкости Дебая используют для технических расчетов в криогенной технике (устройств для хранения и транспортировки сжиженных газов, устройств для охлаждения до низких температур). Из закона теплоемкости Дебая следует, что при низких температурах теплоемкость мала, поэтому малые количества тепла, сообщенные системе, приводят к большим изменениям температуры входящих в систему тел. Из-за этого в системе возникают большие температурные напряжения, которые надо учитывать при проектировании технических систем.

Многие физические системы можно смоделировать в виде системы связанных гармонических осцилляторов. Движения таких осцилляторов можно разложить на нормальные моды, которые можно представить как вибрационные моды струны фортепьяно или резонансы трубы органа. С другой стороны, теорема о равнораспределении становится неприменимой для таких систем из-за отсутствия обмена энергии между нормальными модами. В предельном случае моды независимы и, таким образом, их энергии сохраняются независимо. Это означает, что смешивание энергий, формально называемое эргодичностью, важно для выполнения закона равнораспределения.

 

П.Дебай предположил, что в кристалле существует три типа акустических волн: 2 поперечные и одна продольная. В этом случае средняя энергия будет равна:

Где (y) - введенная константа, зависит от поляризации волны и может принимать значение 2 или 3. Теплоемкость в этом случае будет выражена: