До 60−х годов XX столетия считалось, что в природе есть всего два класса процессов. Первые описываются динамическими системами, где будущее однозначно определяется прошлым – процессы этого класса детерминированы, обратимы и полностью предсказуемы. Вторые же – случайные процессы, где будущее никак не зависит от прошлого. Однако уже к началу 70−х годов при изучении макроскопических открытых систем (систем, которые обмениваются веществом и энергией с внешним относительно системы миром) ученые с удивлением обнаружили, что существует третий, очень важный класс процессов, которые формально описываются динамическими системами, но их поведение может быть предсказано только на небольшой промежуток времени. Этот третий класс процессов получил название «динамического хаоса». Под хаосом понимается финитное экспоненциально неустойчивое движение нелинейной динамической системы – экспоненциальное расхождение траекторий при малых изменениях начальных условий, под финитностью понимается конечность траектории. Интерес к таким системам возник из-за возможности резкого, скачкообразного формирования упорядоченных структур из неупорядоченного хаоса в результате изменения управляющего параметра. Если замкнутая система (гамильтонова), выведенная из состояния равновесия, всегда стремится вновь придти к максимуму энтропии, то в открытой системе отток энтропии может уравновесить ее рост в самой системе и есть вероятность возникновения стационарного состояния. Если же отток энтропии превысит ее внутренний рост, то возникают и разрастаются до макроскопического уровня крупномасштабные флюктуации, а при определенных условиях в системе начинают происходить самоорганизационные процессы, создание упорядоченных структур. При этом диссипация играет в образовании структур конструктивную роль. Факт образования упорядоченных структур из неупорядоченных (изменение симметрии системы) относит рассматриваемый эффект к фазовым переходам. Иначе – неравновесные фазовые переходы в открытых системах. 

В основе изучения неравновесных фазовых переходов лежат две работы. В первой (Lorentz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow. 1963) качественно исследована и численно решена задача об эволюции диссипативной автономной динамической системы с размерностью фазового пространства K = 3 с уравнениями движения

Конвективное движение в атмосфере описывается весьма сложными уравнениями газовой динамики. Для математического моделирования этого движения Лоренц использовал весьма упрощенную модель – систему трех обыкновенных, но нелинейных уравнений. Такого рода уравнения не имеют аналитических решений. Характер их решения может быть проведен лишь с помощью численных расчетов. Проведенный анализ показал, что при достаточно больших значениях градиента температуры поведение решения является настолько сложным, что соответствующие движения воспринимаются как хаотические. Было также установлено, что малейшие изменения начальных условий радикально меняют характер движения. Тем самым движение оказывается динамически неустойчивым. Поскольку начальные условия могут быть заданы с лишь с конечной точностью, предсказание вида движения по заданным начальным условиям становится практически невозможным. Уранение Лоренца представляют простейшую модель уравнений газовой динамики. Последние являются основой для описания поведения атмосферы с целью, например, предсказания погоды. При наличии же динамической неустойчивости движения в атмосфере задача долгосрочного прогноза погоды становится чрезвычайно трудной. Это является одной из основных причин частых ошибок в предсказаниях метеорологов. При конвективном движении, происходящем при подогреве снизу, по мере увеличения градиента температуры происходит неравновесный фазовый переход. В результате сначала возникает пространственная диссипативная структура в виде ячеек Бенара. При дальнейшем увеличении градиента температуры возникают более сложные пространственно-временные структуры.

 

Во второй работе (Henon M., Heiles C. The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments. 1964) качественно исследована и численно решена задача об эволюции консервативной автономной системы с K = 3 с уравнениями движения

В перечисленных работах было установлено, что в динамических системах с K=3 возможно не квазипериодическое финитное движение. Оно является экспоненциально неустойчивым.

Представление решения уравнений движения систем как движения некоторой точки в пространстве с размерностью, равной числу переменных, называют фазовыми траекториями системы. Поведение фазовой траектории в смысле устойчивости показывает, что существует несколько основных его типов, когда все решения системы в конечном счете сосредотачиваются на некотором подмножестве. Такое подмножество называется аттрактором. Аттрактор имеет область притяжения, множество начальных точек, таких, что при увеличении времени все фазовые траектории, начавшиеся в них, стремятся именно к этому аттрактору. Основными типами аттракторов являются:

1) устойчивые предельные точки,

2) устойчивые циклы (траектория стремится к некоторой замкнутой кривой),

3) торы (к поверхности которых приближается траектория).

Движение точки в таких случаях имеет периодический или квазипериодический характер. Для диссипативных систем существуют характерные только для них так называемые странные аттракторы, которые, в отличие от обычных, не являются подмногообразиями фазового пространства (точка, цикл, тор, гипертор – являются), и движение точки на них является неустойчивым, любые две траектории на нем всегда расходятся, малое изменение начальных данных приводит к различным путям развития. Иными словами, динамика систем со странными аттракторами является хаотической. Для характеризации скорости экспоненциального расхождения близких траекторий в фазовом пространстве используют показатель Ляпунова  λ. Тогда расстояние между фазовыми точками  Δ(t) ~ Δ(0)e^λt.

1) Диссипативные структуры могут образовываться только в открытых системах. Только в них возможен приток энергии, компенсирующий потери за счет диссипации и обеспечивающий существование более упорядоченных состояний.

2) Диссипативные структуры возникают в макроскопических системах, то есть в системах, состоящих из большого числа элементов (атомов, молекул, макромолекул, клеток и т.д.). Благодаря этому возможны коллективные – синергетические взаимодействия, необходимые для перестройки системы.

3) Диссипативные структуры возникают лишь в системах, описываемых нелинейными уравнениями для макроскопических функций. Примерами могут служить кинетические уравнения, например, уравнение Больцмана, уравнения газовой динамики и гидродинамики, уравнения Максвелла в электродинамике для напряженностей электромагнитного поля и т.д.

4) Для возникновения диссипативных структур нелинейные уравнения должны при определенных значениях управляющих параметров допускать изменение симметрии решения. Такое изменение выражается, например, в переходе от молекулярного теплопереноса к конвективному теплопереносу по ячейкам Бенара.

При рассмотрении эволюции динамической системы выделяют несколько сценариев перехода к хаосу. Это сценарий Фейгенбаума, Помо – Манневиля, Гребори – Отта – Йорке, Рюэля – Такенса –  Ньюхауса.

 

Теория неравновесных фазовых переходов открытых систем используется в широком диапазоне приложений. Для рассмотрения конкретной системы очень важно определить управляющий параметр.

В лазерах управление может осуществляться путем изменения уровня накачки, то есть вклада энергии, за счет которой создается инверсная заселенность. В классических генераторах накачке соответствует так называемый параметр обратной связи.

При конвективном движении управляющим параметром служит градиент температуры. При переходе от ламинарного течения к турбулентному управление может осуществляться изменением разности давления на концах трубы.

В медицине роль управляющих параметров могут выполнять лекарства. Наблюдение за состоянием больного позволяет контролировать правильность выбора лекарства. Роль управляющего параметра играет и скальпель хирурга. Управляющим параметром может служить и время выздоровления – время, в течение которого организм без внешнего вмешательства возвращается к норме.

 

 

Первый пример динамического хаоса был обнаружен в работе Эдварда Лоренца в 1963 году. Он исследовал решение уравнений, которые служат математической моделью конвективного движения в газах и жидкостях. Конвективное движение возникает благодаря совместному действию поля тяжести и градиента температуры, создаваемого внешним источником тепла. Речь идет, таким образом, об открытой системе.

Представим себе слой жидкости, который подогревается снизу. Конвективное движение выражается в том, что более нагретые элементы жидкости перемещаются вверх, а более холодные – вниз. Тем самым происходит передача тепла снизу вверх. При достаточно малых градиентах температуры перенос тепла определяется за счет теплопроводности. Это молекулярный – неорганизованный – процесс. Он не сопровождается упорядоченным гидродинамическим движением, которое могло бы, подобно регулировке уличного движения, управлять переносом тепла.
Ситуация существенно меняется, когда градиент температуры превышает некоторое критическое значение. Изменение проявляется в том, что в жидкости возникает упорядоченное макроскопическое движение. Оно и называется конвективным. В результате происходит саморегулировка теплового потока: внутри ячеек более теплая жидкость поднимается вверх, а по краям более холодная опускается вниз. Таким образом, распределение встречных тепловых потоков становится упорядоченным. Эта ситуация напоминает регулировку встречных потоков при уличном движении. Есть, однако, и существенная разница. Действительно, регулировка уличного движения регламентируется правилами уличного движения. При конвективном же движении имеет место процесс самоорганизации. Задается лишь градиент температуры. Перестройка же движения происходит благодаря внутренним свойствам самой системы. Внешне результат этой перестройки проявляется в том, что на поверхности жидкости появляется диссипативная пространственная структура – ячейки Бенара. Благодаря такой перестройке обеспечивается большая пропускная способность, чем при молекулярном – неупорядоченном – теплопереносе. Появление новой структуры можно рассматривать как неравновесный фазовый переход.

 

Для всех степенных распределений общим является возникновение длинных цепочек причинно-следственных связей: одно событие может повлечь другое, третье и т.д., в результате чего происходит «лавинообразный» рост изменений, затрагивающих всю систему. Именно на базе нелинейной динамики теория рисков выработала своеобразную технику работы с незнанием, направленную на поиски закономерностей поведения произвольной нелинейной системы как целого. Оказывается, компьютерный анализ большого массива статистических данных позволяет выявить так называемые «предвестники» катастроф. Даже незначительный рост этих медленно меняющихся величин сигнализирует о надвигающейся опасности.

Одним из первых идею о подобном применении методов нелинейной динамики высказал более 20 лет назад Владимир Кейлис-Борок (ныне – академик РАН, директор Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики). Под его руководством был создан алгоритм прогноза, основанный на накопленных за многие годы данных сейсмической активности. Этот метод получил название М8, поскольку предназначался для прогноза достаточно сильных (более чем в 8 баллов) землетрясений. С 1985 года началось систематическое применение разработанного российскими учеными алгоритма. За это время было успешно предсказано пять из семи происшедших крупнейших землетрясений, в том числе Спитакское и Калифорнийское. Впрочем, «удачные» предсказания едва ли могут серьезно облегчить работу соответствующим «службам спасения»: точность данного метода крайне невелика – прогноз выдается с неопределенностью по времени в один-два года и с неопределенностью в пространстве в 200−400 км. Не слишком успешно применение данного метода и к прогнозу землетрясений слабее 8 баллов. Но даже с учетом этих оговорок продемонстрированная алгоритмом M8 возможность предсказывать землетрясения за несколько лет до их наступления представляется серьезным научным достижением