Критерии подобия, необходимые условия физического подобия двух явлений, например явлений, имеющих место для натурного объекта и его модели. Критерии подобия, состоящие в равенстве для рассматриваемых явлений некоторых безразмерных величин, называются характеристическими числами. Иногда критериями подобия называются сами эти числа. Ими являются число Маха, число Рейнольдса, число Прандтля, число Струхаля, число Эйлера, число Фруда и другие.

***

Число Прандтля (Pr) [Prandtl number] – критерий подобия, характеризующий соотношение между интенсивностью молекул, переноса механического импульса и интенсивностью переноса теплоты за счет теплопроводности в жидкостях и газах; численно равен отношению кинематического коэффициента вязкости к коэффициенту температуропроводности жидкости или газа (Рг = v/a).

***

Число Прандтля – один из критериев подобия тепловых процессов в жидкостях и газах:

где n = m/r – кинематическая вязкость; m – динамическая вязкость; r – плотность; l – теплопроводность; а = l/rcp – температуропроводность; cp – удельная изобарная среды при постоянном давлении. Названо по имени Л. Прандтля.

***

Теория подобия – учение об условиях подобия различных объектов (физических явлений, процессов, аппаратов, систем), отличающихся масштабами, геометрией или физической природой. Основные задачи теории подобия: установление критериев подобия разных объектов, изучение их свойств с помощью этих критериев, определение возможности обобщения результатов решения конкретных задач при отсутствии способов нахождения их полных решений. Успехи в развитии теории связаны с именами И. Ньютона, Ж. Фурье, Дж. Рэлея, T. Афанасьевой–Эренфест, M. Рябушинского, P. Бэкингема, П. Бриджмена, M. В. Кирпичева, А. А. Гухмана, Г. К. Дьяконова, Л. И. Седова и др.

Два объекта подобны, если в соответствующие (сходственные) моменты времени в соответствующих точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одного объекта, пропорциональны значениям соответствующих величин другого объекта. Коэффициент пропорциональности соответствующих величин называются коэффициентами подобия.

Виды подобия.
Различают геометрическое, физическое, физико–химическое и математическое подобие. При геометрическом подобии пропорциональны геометрические характеристики соответствующих элементов объектов (например, длины, высоты или диаметры аппаратов). При физическом подобии в пространстве и времени подобны поля соответствующих физических параметров двух объектов, например, при кинематическом подобии – поля скоростей, при динамическом подобии – системы действующих сил или силовых полей (силы инерции, тяжести, вязкости, давления); при механическом или гидромеханическом подобии, предполагающем наличие геометрического, кинематического и динамического подобия, – упругие системы, потоки жидкостей, газов или их смесей; при подобии тепловых процессов – соответствующие поля температур и тепловых потоков; при подобии массообменных процессов – потоки веществ и поля их концентраций; при подобии химических процессов – поля концентраций, температур; при электродинамическом подобии – поля токов, нагрузок, мощностей, электромагнитных сил. Для сложных физических и физико–химических процессов, включающих механические, гидромеханические, тепло– и массообменные, а также химические явления, теория подобия устанавливает условия подобия, например процессов трения при движении материальных потоков в трубах, каналах и аппаратах, кинетики физико–химических превращений и других явлений. При математическом подобии рассматриваемые объекты описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет говорить, например, о подобии тепловых и массообменных процессов.

где ν – кинематическая вязкость; a – коэффициент температуропроводности.

Физический смысл: мера соотношения вязкостных и температуропроводных свойств теплоносителей; мера соотношения полей скоростей и температур в потоке.

Существует и другое Число Прандтля*, которое в зарубежной литературе называется числом Шмидта (Sc):

где ν – кинематическая вязкость; D – коэффициент диффузии.

Физический смысл: Мера постоянства соотношений физических свойств жидкостей (газов) в подобных потоках; мера подобия профилей скоростей и концентраций в процессах массоотдачи.

***

Число Прандтля – безразмерная величина, определяющая процессы теплопередачи в движущихся жидкостях и газах; является критерием подобия двух неизотермических потоков жидкости (газа). Названо по имени Л. Прандтля.

***

Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений. Теория подобия основана на учении о размерностях физических величин и служит основой моделирования. Теория подобия устанавливает критерии подобия различных физических явлений, позволяющие с их помощью изучать свойства самих явлений. Явные и неявные функциональные связи между критериями подобия, которые получают с помощью теории подобия (так называемые критериальные зависимости) способствуют пониманию сложных физических процессов и помогают интерпретировать результаты как экспериментальных исследований, так и числовых расчётов, объём которых прогрессивно возрастает по мере развития численных методов и совершенствования электронно–вычислительной машины. Теория подобия, дозволяет формулировать физические закономерности и извлекать идеи из огромной массы расчётных или экспериментальных результатов.

Физические явления, процессы или системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорциональной соответствующим величинам другой системы. Физическое подобие является обобщением элементарного и наглядного понятия геометрического подобия, при котором существует пропорциональность (подобие) сходственных геометрических элементов подобных фигур или тел. При физическом подобии поля соответствующих (одноимённых) параметров двух систем подобны в пространстве во времени. Например, при кинематическом подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений; при динамическом подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовых полей различной физической природы (сил тяжести, сил давления, сил вязкости и); механическое подобие (подобие двух потоков жидкости или газа, подобие двух упругих систем) предполагает наличие геометрического, кинематического и динамического подобий; при подобии тепловых процессов подобны соответствующие поля температур и тепловых потоков, при электродинамическом подобии – поля токов, нагрузок, мощностей, электро–магнитных сил. Все перечисленные виды подобия – частные случаи физического подобия.

***

Безразмерные величины, производные физической величины, не зависящие от изменения в одно и то же число раз величин, выбранных за основные. Если, например, за основные величины выбраны длина L, масса М и время Т и их изменения в одно и то же число раз не влияют на размер данной величины, то размерность такой величины равна L°M°T° = 1, и она в этой системе величин является безразмерной. Например, плоский угол, определяемый как отношение длины дуги окружности, заключённой между двумя радиусами, к длине радиуса, в системе LMT является безразмерной величиной, так как не зависит от длины радиуса. К безразмерным величинам относятся также все относительные величины: относительная плотность (плотность тела по отношению к плотности воды), относительное удлинение, относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости, а также критерии подобия (числа Рейнольдса, Прандтля и другие). Безразмерные величины выражаются в отвлечённых единицах. Относительные величины выражаются также в процентах (%) и промилле (°/_оо).

 

 

 

Число Прандтля – физическая характеристика среды и зависит только от её термодинамического состояния. У газов число Прандтля с изменением температуры практически не изменяется (для двухатомных газов Pr >> 0,72, для трёх– и многоатомных Pr >> от 0,75 до 1). У неметаллических жидкостей число Прандтля изменяется с изменением температуры тем значительнее, чем больше вязкость жидкости (например, для воды при 0 °С Pr = 13,5, а при 100 °C Pr = 1,74; для трансформаторного масла при 0 °C Pr = 866, при 100 °C Pr = 43,9 и т.д.). У жидких металлов Pr << 1 и не так сильно изменяется с температурой (например, для натрия при 100 °C Pr = 0,0115, при 700 °C Pr = 0,0039).

Число Прандтля связано с другими критериями подобия – числом Пекле Ре и числом Рейнольдса Re соотношением Pr = Pe/Re.