Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики. В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма. Так, понятии «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны, то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс является полностью неопределенным. В.Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т.е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию:

Подчеркнем, что ∆E – неопределенность энергии системы в момент ее измерения, ∆t – неопределенность длительности процесса измерения. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни ∆t, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии ∆E=h/∆t возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (1) следует, что частота излучения фотона также должна иметь неопределенность ∆ν=∆E/h, т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной ∆ν=∆E/h. Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

 

* * *

 

В классической физике исчерпывающее описание состояния частицы определяется динамическими параметрами, такими как координата, импульс, момент импульса, энергия и др. Однако реальное поведение микрочастиц показывает, что существует принципиальный предел точности, с которой подобные переменные могут быть указаны и измерены.

Глубокий анализ причин существования этого предела, который называют принципом неопределенности, провел В. Гейзенберг (1927). Количественные соотношения, выражающие этот принцип в конкретных случаях, называют соотношениями неопределенностей.

Это соотношение устанавливает неопределенность изменения энергии, ∆E, за данный промежуток времени ∆t. Согласно этому соотношению для измерения энергии с погрешностью ∆E необходимо время, не меньшее, чем ∆t ≈ ћ/ ∆E. Примером может служить «размытие» энергетических уровней водородоподобных систем (кроме основного состояния). Это связано с тем, что время жизни во всех возбужденных состояниях этих систем порядка 10^-8 с. Размытие же уровней приводит к уширению спектральных линий (естественное уширение), которое действительно наблюдается. Сказанное относится к любой нестабильной системе. Если время жизни ее до распада порядка τ, то из-за конечности этого времени энергия системы имеет неустранимую неопределенность, не меньшую, чем ∆E ≈ћ/ τ.

 

* * *

 

Двойственная корпускулярно-волновая природа микрочастиц накладывает ограничения на точность определения физических величин, характеризующих состояние частицы. Причем эти ограничения никак не связаны с точностью измерений, достижимой в конкретном эксперименте, а имеют принципиальное значение. Рассмотрим в качестве примера дифракцию электрона на щели.

Пусть электроны падают нормально на непрозрачный экран Э, в котором имеется щель шириной ∆x (рисунок 1).

 

Дифракционная картина регистрируется фотопластинкой Ф, расположенной за экраном. Направим ось x в плоскости экрана перпендикулярно щели, а ось y - вдоль направления движения падающего пучка электронов. Пусть падающие электроны обладают определенным импульсом P₀, тогда, согласно квантово-механическим представлениям, эти электроны описываются плоской волной с волновым вектором k, определяемым из уравнений де Бройля (2.4),

Поскольку волна распределена по всему пространству, то каждый электрон до прохождения через щель электрон имеет точно определенный импульс:

 

 

и совершенно неопределенную координату x.

При прохождении электрона через щель ситуация существенным образом изменяется. Неопределенность координаты x становится равной ширине щели ∆x, но при этом появляется неопределенность импульса ∆p_x, обусловленная дифракцией электронов на щели. Дело в том, что электроны, прошедшие через щель в экране, описываются уже не плоской, а расходящейся волной, интенсивность которой в соответствии с законами дифракции зависит от угла дифракции φ. Качественный вид дифракционной картины приведен на рисунке 1.

Наибольшее изменение при прохождении через щель претерпевает проекция p_x импульса электрона на ось x. Оценим по порядку величины разброс значений p_x, обусловленный дифракцией электронов.

Электроны, прошедшие через щель, в подавляющем большинстве случаев будут попадать в центральный дифракционный максимум. Границы этого максимума определяются углом дифракции φ₁, задающим направление на первый минимум интенсивности в дифракционной картине. Согласно теории дифракции этот угол находится из условия

 

где λ_Б - дебройлевская длина волны электрона. В силу малости угла φ₁sinφ₁≈tgφ₁ , следовательно

 

 

С другой стороны, угол φ1 можно определить через компоненты p_x и p_y импульса электрона:

 

 

Считая, что неопределенность ∆p_x проекции импульса вдоль оси x сравнима по порядку величины с p_x, получаем 

 

 

Находим, что

 

 

Принимая во внимание, что

 

 

получаем окончательный ответ

 

 

Поскольку при выводе данной формулы использовались некоторые упрощающие предположения, то это соотношение, естественно, является приближенным. Строгий вывод дает следующий результат

 

 

Это соотношение было получено в 1927 г немецким физиком В. Гейзенбергом и называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. Из него следует, что чем точнее мы определяем координату частицы, т.е. чем меньше ∆x, тем более неопределенной становится проекция импульса частицы на эту координатную ось ∆p_x и наоборот.

Соотношение неопределенностей является математическим выражением принципа неопределенностей. Согласно этому принципу в природе не существует состояния частицы с точно определенными значениями координаты и проекции импульса на эту координатную ось.

Подчеркнем еще раз, что соотношение является следствием корпускулярно-волнового дуализма материи, следствием того, что частица обладает одновременно и свойствами волны, и свойствами корпускулы. Оно никак не связано с погрешностью измерения конкретных измерительных приборов, используемых в том или ином эксперименте. Это соотношение задает теоретический предел точности измерения характеристик микрочастицы, который далеко не всегда может быть достижим на практике.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга связывает неопределенность координаты частицы с неопределенностью проекции импульса именно на данную координатную ось. Поскольку ось x в предыдущем рассмотрении ничем не была выделена, то соотношение оказывается справедливым и для других координатных осей

 

 

В то же время не существует никаких принципиальных ограничений на точность определения координаты и проекции импульса на другую координатную ось, например, ∆x и ∆p_y или ∆p_z, ∆y и ∆p_x или ∆p_z.

В квантовой механике соотношение неопределенностей имеет фундаментальное значение. Оно позволяет получать важные физические результаты, а также проводить численные оценки, не прибегая к точному, иногда достаточно трудоемкому, решению квантово-механической задачи. Так, соотношение неопределенностей позволяет понять, почему электрон в атоме не падает на ядро, почему электрон не может входить в состав атомного ядра, а также сделать ряд других физически значимых выводов. Соотношение неопределенностей дает возможность оценить по порядку величины размеры атома, минимальную энергию электрона в атоме и получить другие важные оценочные результаты.

Наряду с координатой и проекцией импульса существуют еще пары физических величин, которые не могут одновременно иметь точных значений. Для них также будут выполняться соотношения неопределенностей. Из этих соотношений наиболее важное значение имеет соотношение неопределенностей, связывающее неопределенность энергии ∆E и времени ∆t. Формально это соотношение, получаемое из математического аппарата квантовой механики, имеет вид

 

 

Однако здесь необходима некоторая корректировка и пояснения. Обсудим это соотношение подробнее. Поскольку в эксперименте измеряется не полная энергия какого-либо состояния квантовой системы, а разность энергий, выделяющаяся при переходе из одного состояния в другое, то ∆E = ∆(E₁-E₂) = ∆E₁-∆E₂  где E₁ и E₂ - энергии соответственно начального и конечного состояний системы. Так как знаки ∆E₁ и ∆E₂ могут быть, вообще говоря, различными, то правую часть соотношения следует увеличить в два раза. Таким образом, соотношение неопределенностей для энергии и времени принимает вид

 

 

Под ∆t в этом соотношении следует понимать время жизни системы в возбужденном состоянии с энергией E₁. Под ∆E следует понимать разброс в энергии, которая выделяется при переходе системы из состояния с энергией E₁ в состояние с энергией E₂.

Следствия, вытекающие из соотношения неопределенностей, можно наблюдать на эксперименте, например, в атомной спектроскопии. Хорошо известно, что линии в спектре излучения атомов не являются бесконечно узкими - это соответствовало бы значению ∆E = 0, т.е. точно определенной энергии кванта излучения. Спектральные линии, наблюдаемые на эксперименте, имеют конечную, так называемую естественную ширину линии Г, которая представляет собой разброс энергии фотонов относительно некоторого среднего значения, характеризующего центр линии (рисунок 2).

 

Из формулы следует, что эта ширина связана с временем жизни атома в возбужденном состоянии τ соотношением

 

 

Измеряя на эксперименте естественную ширину спектральных линий Г, можно с помощью последней формулы найти время жизни атома в том или ином возбужденном состоянии. Так, естественная ширина линии, измеренная в спектре атомов, излучающих в видимом диапазоне, составляет по порядку величины Г ~ 10^-7 эВ. Подставляя это значение в данную формулу, находим, что время жизни атома в возбужденном состоянии τ ≈ 10^-8 с.

 

Соотношение неопределенностей неоднократно являлось предметом философских дискуссий, приводивших некоторых философов к их идеалистическому толкованию. Например, по их мнению, соотношение неопределенностей, не давая возможности одновременно точно определить координаты и импульсы (скорости) частицы, устанавливает границу познаваемости мира, с одной стороны, и существование микрообъектов вне пространства и времени – с другой. На самом деле соотношение неопределенностей не ставит какого-либо предела познанию микромира, а только указывает, насколько применимы к нему понятия классической механики.