Число Эйлера (названо в честь Леонарда Эйлера), один из критериев подобия движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Число Эйлера Eu определяют формулой:

иногда

где p₂, p₁ – давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), ρv²/2 – скоростной напор, ρ – плотность жидкости или газа, v – скорость течения (или скорость тела).

Если при течении жидкости имеет место кавитация, то аналогичный критерий называется числом кавитации:

где p₀ – характерное давление, р_н – давление насыщенных паров жидкости.
В сжимаемых газовых потоках число Эйлера связано с другими критериями подобия – числом Маха М и отношением удельных теплоемкостей среды γ – формулой:

Функциональная зависимость между отдельными физическими величинами, входящими в уравнения Навье - Стокса для вязкой среды, может быть заменена зависимостью между критериями подобия:

Явный вид зависимости находится на основании опытов, в которых можно варьировать не все физические величины в отдельности, а критерии подобия. Один из этих критериев обычно содержит искомую величину и называется определяемым, а остальные, содержащие физические свойства системы, носят название определяющих. Так, например, если задача сводится к отысканию зависимости перепада давления Δp в трубопроводе от геометрических размеров последнего, скорости и физических свойств жидкости, то определяемым является критерий Эйлера Еu, а критерии Рейнольдса Re и Фруда Fr — определяющими:

Заметим, что количественное влияние каждого из критериев Re и Fr на ход процесса может быть различное. В частности, при установившемся движении жидкости в промышленных трубопроводах, когда определяющими являются силы инерции и трения, а роль силы тяжести пренебрежимо мала, ограничиваются учетом зависимости

 

 

Одним из условий подобия аэродинамических процессов в натуре и на модели является отношения скоростей, плотности, динамической вязкости, давления, которые определяют исходя из общей теории подобия процессов. Согласно этой теории в аэродинамических процессах следует соблюдать следующие критерии подобия: гомохромности (Струхаля), Фруда, Рейнольдса и Эйлера. Для турбулентных потоков необходим правильный выбор степени турбулентности потока. Для установившихся изотермических потоков воздуха, как показывает анализ, достаточно выявить зависимость критерия Эйлера (включающего в себя аэродинамический коэффициент) от критерия Рейнольдса и степени турбулентности потока.
Многие вопросы гидромеханики, необходимые для техники, решаются при помощи экспериментов с уменьшенными моделями. При проведении таких экспериментов возникает вопрос о выборе размеров .моделей, значений характерных скоростей и прочих характерных величин. Возникает также вопрос о возможности перенесения результатов экспериментов на натуру. На все эти вопросы даёт ответ теория подобия течений жидкости.
 

Механическое перемешивание осуществляется с помощью мешалок, которым сообщается вращательное движение либо непосредственно от электродвигателя, либо через редуктор или клиноременную передачу. Задача внешнего обтекания тел в условиях перемешивания может быть решена с помощью уравнений Навье-Стокса и неразрывности потока. Для решения этой задачи используют теорию подобия. Для вынужденного стационарного движения жидкости обобщённое уравнение гидродинамики имеет вид

где:Eu – критерий Эйлера,Fr – критерий Фруда,Re – критерий Рейнольдса, Г1, Г2, – симплексы геометрического подобия.

где n – число оборотов мешалки в единицу времени (частота вращения), d - диаметр мешалки. Будем использовать d как определяющий линейный размер, тогда:

Мощность на валу мешалки N пропорциональна силе Р, приложенной к валу мешалки окружной скорости , то есть

.

Подставив в выражение для Eu, получим:

Критерий Eu, выраженный в таком виде, называют критерием мощности и обозначают через K. Критериальное уравнение для мешалки принимает вид:

Таким образом, для определения рабочей мощности на валу необходимо опытным путем найти функциональную зависимость Еu = f(Re, Fr). Критерий Fr имеет, однако, существенное значение лишь в тех случаях, когда перемешивание жидкости сопровождается образованием глубокой воронки (параболическая форма свободной поверхности уровня), что на практике не допускается.