Изотопический эффект – зависимость критической температуры Т_К сверхпроводящего металла от его изотопного состава.
Т_К  возрастает при уменьшении средней атомной массы (М) вещества. Для ряда металлов выполняется: Т_КМ^1/2 = const.

Изотопический эффект свидетельствует о том, что сверхпроводимость связана с массой образующих решётку частиц и обусловлена взаимодействием электронов с фононами (колебаниями решётки).

Рассмотрим электрон-фононную систему, описываемую гамильтонианом

Здесь ε_р-электронный спектр, где V(q) — матричный элемент экранированного электрон-фононного взаимодействия, М — масса иона, Q_q — нормальная фононная переменная, Н_i — энергия колебаний решетки.

При описании электронной части гамильтониана мы не рассматриваем кулоновского взаимодействия между электронами, полагая, что оно может быть учтено стандартными методами с помощью перенормировки постоянной электрон-фононного взаимодействия λ, на величину μ*.

Можно получить самосогласованное уравнение для электронных температурных функций Грина. Эти уравнения не зависят от конкретного вида решеточной части гамильтониана системы Н_i и получаются в приближении Мигдала при пренебрежении перенормировкой вершины массового оператора, описывающего взаимодействие электронов с фононами во втором порядке по константе электрон-фононного взаимодействия. Массовый оператор выражается через полную электронную функцию Грина, что позволяет получить уравнения Элиашберга для рассматриваемой системы. Для постоянной электрон-фононного взаимодействия λ, определяющей температуру сверхпроводящего перехода в системе, получаем обычное выражение

   (1)

где

Здесь N(0) —плотность электронов на поверхности Ферми — скорость электронов на поверхности Ферми, введена функция , являющаяся фурье-образом временной запаздывающей функции Грина.

Воспользовавшись дисперсионными соотношениями для функций Грина, после интегрирования по частоте в (1) получаем

    (2)

где — статическая восприимчивость решетки. Для оценки константы (2) можно использовать приближение Мак-Миллана, согласно которому

   (3)

где J² — усредненный по поверхности Ферми квадрат абсолютного значения матричного элемента электрон-фононного взаимодействия |V(q)q|. Для модели гармонических фононов со спектром ω_q обычно полагают

где <F> — средняя гармоническая силовая постоянная в решетке, и, таким образом, λ не зависит от массы ионов решетки.

Для оценки температуры сверхпроводящего перехода Т_с можно воспользоваться одной из стандартных формул:

    (4)

где в случае слабой связи λ ≤ 1 согласно формуле Мак-Миллана

    (5)

или в случае промежуточной связи 1 ≤ λ < 10

    (6)

где μ* << λ опущено. Здесь ω — средняя частота фононного спектра.

Как следует из (3) и (6), в случае гармонической решетки с λ, не зависящем от М, изотопический эффект в основном определяется зависимостью , которая может изменяться лишь за счет дополнительной зависимости Т_с от μ* в случае слабой связи (5).
 

Для ряда металлов (Hg, Sn, Tl) выполняется (приблизительно) соотношение Т_кМ^1/2=const, но для других металлов (например, Pb, переходных металлов) показатель степени в соотношении Т_к ~ М^-1/2. Впервые изотопический эффект наблюдался в 1950 году; было установлено, что у изотопа Hg¹⁹⁸ Т_к=4, 177 K, а у чистой ртути с естественным изотопным составом (М=200, 6) Т_к=4, 154 К. Исследования показали также, что одновременно с Т_к изменяется критическое магнитное поле Н_к,0 (при Т → 0), но отношение Н_к,0 / Т_к для разных изотопов данного сверхпроводящего металла остается постоянным. Изотопический эффект свидетельствует, что сверхпроводимость связана с массой частиц, образующих кристаллическую решетку, и обусловлена взаимодействием электронов с фононами (колебаниями решетки).

Электрон-фононное (поляризационное) взаимодействие в теории БКШ – взаимодействие с запаздыванием. Минимальное время взаимодействия определяется временем поляризации решетки (периодом колебания ионов T₀ = 1/n₀ ~ 10^-13 с). Это время и скорость движения электронов V_F определяют длину корреляции (размер пар) x ~ V_FT₀. Величина поляризационного смещения атомов при взаимодействии с электронами определяется величиной (М_b)^-1/2. Поэтому изотопический эффект характерен для любого взаимодействия, в котором участвуют (смещаются) тяжелые атомы решетки.

У металлов электрон-фононное взаимодействие не может быть достаточно сильным. Верхняя оценка критической температуры дает величину порядка Т_c = 25 К, что хорошо согласуется со значениями Т_c у металлических сверхпроводников.

В принципе электрон-фононное взаимодействие может быть более сильным у многокомпонентных соединений со специальной кристаллической структурой, например квазиодномерных или квазидвумерных (слоистых) структур, которыми являются легированные фулерены и керамические высокотемпературные сверхпроводники.

Электрон-фононное взаимодействие (прямое или в несколько модифицированном виде) в таких структурах может приводить к более высоким (чем у классических металлов) значениям Т_с. Основным критерием наличия такого взаимодействия является изотопический эффект.

Отсутствие изотопического эффекта указывает на возможность существования других механизмов взаимодействия. Например, если поляризация осуществляется не путем смещения тяжелых ионов, а путем смещения электронов в поляризующихся комплексах атомов, примыкающих к проводящим слоям (так называемый экситонный механизм сверхпроводимости), взаимодействие будет осуществляться без запаздывания, а величина "поляризационного" положительного заряда может быть сильно увеличена за счет того, что вместо тяжелого иона здесь смещается легкий электрон с массой mМ. Поэтому отсутствие (малость) изотопического эффекта у высокотемпературных сверхпроводников с Т_с > 100 K указывает, скорее всего, на существование в этих веществах иного (а не электрон-фононного) взаимодействия, приводящего к образованию пар и сверхпроводимости. Однако следует иметь в виду, что этот вопрос остается пока открытым.

Основной характеристикой сверхпроводящего состояния является параметр порядка Δ, модуль которого есть щель в спектре квазичастичных возбуждений. На сегодняшний день нерешенным остается вопрос о типе симметрии Δ(k) (k – квазиволновой вектор) в высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП). Можно условно выделить три основных типа симметрии Δ(k), наличие или отсутствие которых в ВТСП обсуждалось в литературе:

1) изотропная s-волновая симметрия, реализующаяся, как правило, в обычных сверхпроводниках, когда Δ(k)=const на поверхности Ферми;

2) анизотропная s-волновая симметрия;

3) d-волновая симметрия.

Сейчас однозначно установлена лишь сильная анизотропия Δ(k), что означает отсутствие в ВТСП изотропного s-волнового спаривания. Хотя многие авторы объясняют результаты своих экспериментов d-волновой симметрией Δ(k), такая интерпретация является, по меньшей мере, спорной.

Исследовали возможность использования изотопического эффекта для выяснения типа симметрии Δ(k) в ВТСП. Как известно, в ВТСП имеет место аномальный изотопический эффект: коэффициент изотопического эффекта а изменяется от значений, близких к нулю в стехиометрических образцах с максимальной (для данного соединения) критической температурой Т_с до величин а ≈ 1 в кислорододефицитных или содержащих большое количество примесей образцах с низкими Т_с. Заметим, что для обычных сверхпроводников а ≈ 0.5, что согласуется с теорией БКШ.

Рассчитали зависимость а(Г_с) в сверхпроводниках, содержащих немагнитные примеси и имеющих различную симметрию Δ(k) – от изотропной s-волновой до d-волновой и затем сопоставили полученные результаты с экспериментальными данными по изотопическому эффекту в ВТСП YBa₂Cu₃O_7-x с различным содержанием примеси Zn. При этом было установлено:

1) симметрия Δ(k) не является чисто d-волновой;

2) если ввести модельную зависимость Δ(k) в виде ΔΔ(k)= Δ[r+cos(2f)], где r – относительное содержание s-волновой компоненты, то следует, что значение r лежит в пределах от 0.1 до 0.2. Таким образом, расчеты говорят о смешанной (d+s) – волновой симметрии параметра порядка Δ(k) в YBa₂Cu₃O_7-x.

Следует отметить, что результат о наличии в ВТСП YBa₂Cu₃O_7-x (d+s)-волнового спаривания подтверждается экспериментами по джозефсоновскому туннелированию между YBa₂Cu₃O_7-x и РЬ.
Что касается оценки содержания s-волновой компоненты в Δ(k) ,то исходя из экспериментов по измерении теплопроводности YBa₂Cu₃O_7-x в магнитном поле, приводят для r значение 0.1.