Связанные колебания - собственные колебания в сложной системе, состоящей из связанных между собой простейших (парциальных) систем.

Особенности колебаний в связанных системах рассмотрим на примере двух математических или физических маятников, связанных между собой пружиной.

Свободный математический маятник, как известно, обладает двумя степенями свободы, то есть для описания его движения требуется два параметра – углы смещения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Система из двух маятников описывается четырьмя параметрами и, следовательно, имеет четыре степени свободы. Если колебания, соответствующие каждой степени свободы, независимы, то задача описания движения является чисто кинематической, то есть задачей разложения сложного движения на сумму более простых движений. Если между движениями по различным степеням свободы имеется динамическая связь, при которой возбуждение одной степени свободы вызывает динамические изменения во всех остальных степенях свободы, то это приводит к обмену колебательной энергии между степенями свободы, приводя к новым физическим явлениям, отсутствующим у системы независимых маятников.

Как известно, для свободного математического маятника уравнение моментов будет

,     (1)

где J – момент инерции маятника, m, l – его масса и длина соответственно, α – угол отклонения от положения равновесия. В случае двух маятников, связанных пружиной, на каждый маятник будет действовать дополнительная сила со стороны пружины F_св, которая при небольших отклонениях может быть определена из закона Гука

где l₁ – расстояние от точки крепления маятника до точки крепления пружины. Эта сила создает дополнительный момент, действующий на каждый из маятников. В этом случае уравнения движения маятников будут иметь вид

,     (2)

где учтено, что . В общем случае уравнения колебаний в системе двух произвольных связанных маятников имеют вид

,    (3)

,    (4)

здесь x₁ , x₂ – отклонения маятников от положения равновесия, ω₀₁ , ω₀₂ – частоты собственных колебаний маятников (парциальные частоты), λ₁ , λ₂ – коэффициенты, определяющие величину связи между маятниками. Как следует из (2)-(4) для рассматриваемого случая.

.    (5)

Решение системы (3),(4) легко найти с помощью метода комплексных амплитуд, если предположить, что в ней можно возбудить гармонические колебания на некоторой частоте ω, причем

,

,   (6)

где  – комплексные амплитуды колебаний маятников. После подстановки (6) в (3), (4) получим

,   (7)

где ζ = x₂₀/x₁₀. Решением этой системы алгебраических уравнений являются

,   (8)

.   (9)

Здесь верхний знак перед корнем относится к ω₁ и ζ₁ , а нижний – к ω₂ и ζ₂ Общее решение системы (3), (4) имеет вид

,   (10)

,   (11)

где амплитуды и фазы A , B, ψ₁ , ψ₂ определяются начальными условиями, а частоты ω₁, ω₂ и коэффициенты ζ₁ , ζ₂ не зависят от начальных условий и определяются только свойствами колебательной системы. Для случая двух одинаковых связанных маятников из (9) следует ζ₁ = 1 , ζ₂ = -1 .

Таким образом, хотя в общем случае произвольное колебание маятников не является гармоническим, тем не менее его всегда можно представить в виде суммы двух гармонических колебаний с частотами ω₁ и ω₂. Эти колебания носят название нормальных колебаний (собственных колебаний системы), а частоты ω₁ и ω₂ – нормальных частот. Каждое нормальное колебание системы ( его называют также модой колебаний) является совокупностью колебаний обоих маятников, оно характеризуется частотой ω₁ или ω₂ , а также определенным соотношением между амплитудами колебаний каждого маятника (амплитуды отличаются соответственно в ζ₁ или ζ₂ раз). Нормальные колебания можно выделить в любой колебательной системе, состоящей из произвольного числа маятников, если движение этой системы описывается системой уравнений типа (3), (4). В том случае, когда в системе возбуждено одно нормальное колебание, каждый маятник колеблется по гармоническому закону с частотой этого колебания, а амплитуды и фазы колебаний всех входящих в систему маятников однозначно связаны между собой.

 

Исходя из определения связанных колебаний - собственные колебания в сложной системе, состоящей из связанных между собой парциальных систем - можно сказать, что практически все системы являются связанными. Вопрос в силе связанности. Возьмем в качестве примера маятник Фуко в парижском Пантеоне. В целом, очевидно, что маятник связан через крепление со стенами здания и строго говоря, вместе с маятником колеблется и само здание. Но, разумеется, учет такой связи практически нецелесообразен.  Однако здесь стоит отметить, что для проведения экспериментов с маятником Фуко всегда выбирают наиболее массивную опору, и маятник как минимум сутки перед экспериментом должен провисеть на используемом подвесе.

Примерами других связанных систем могут служить молекулы (атомы, взаимодействующие между собой), маятники, колеблющиеся вокруг одной оси (связь осуществляется посредством упругих сил в оси), связанные электрические контуры.

Проанализируем подробно колебания в системе, изображенной на рис.1.

Пусть мы сдвинули левую массу вправо на расстояние s₀₁, а правую массу оставили в несмещенном положении (s₀₂ = 0). После отпускания обоих грузов в системе возникнут колебания. Амплитуды мод составят: s^l₀₁ = s^l₀₂ = s₀₁/2; - s^Il₀₁ = s^Il₀₂ = -s₀₁ /2 . Поскольку фазы φ_I = φ_II = π/2 (т.к. начальные скорости у грузов отсутствуют), то смещения

   (1)

Производя суммирование тригонометрических функций в (1), получим:

   (2)

Временные зависимости (2) изображены на рис.2.

Видно, что колебания каждой из масс имеют форму биений. Период этих биений равен

где частота биений

Если ввести среднюю частоту

,

то с этой частотой связан период колебаний .

Задача о двух связанных системах имеет очень существенное значение в оптике.

Мы представляем себе, что в каждой молекуле газа находится оптический резонатор с определенной частотой v. Свечение газа объясняется тем, что резонаторы колеблются с определенной частотой и газ испускает свет этой частоты.

Пусть теперь на газ падает извне световая волна. Под действием этой волны резонаторы приходят в колебания и поглощают энергию. Если период падающей волны и период собственных колебаний не совпадают, резонаторы колеблются слабо и поглощают мало. Если же периоды совпадают, то они колеблются сильно (резонанс) и поглощают много энергии. В этом заключается смысл закона Кирхгофа.

Преломление объясняется следующим образом. Когда резонатор колеблется под действием падающей волны, то он сам излучает. То, что мы видим, — это тот свет, который прошел сквозь газ, плюс вторичное излучение, которое испустили резонаторы под влиянием падающего света. Если подсчитать результат такого сложения, то как раз получается правильное значение показателя преломления.

Как объяснить, что в плотном газе наблюдается расширение спектральных линий, расплывание частоты? Исходя из только что указанных представлений, мы получаем очень простой ответ: когда резонаторы сближены, они образуют связанную систему. Такая система имеет ряд различных нормальных частот. Частоты испускаемого света соответствуют этим нормальным частотам. Таким образом, сюда прямо переносится то, что мы знаем о связанных системах. Разумеетя, модель простого классического резонатора здесь непосредственно неприменима; атом гораздо сложнее. Но все черты резонансной теории, в сущности, сохраняются и в квантовой теории. Поведение атома под действием внешней силы чрезвычайно близко к тому, что мы знаем из классической модели простого резонатора. Многие основные черты классической интерпретации дисперсии, абсорбции, испускания света сохранились и в квантовой теории.