Полный расчет пограничного слоя для заданного тела путем решения дифференциальных уравнений требует во многих случаях столь обширной вычислительной работы, что может быть выполнен только на электронных вычислительных машинах. Поэтому в тех случаях, когда точное решение уравнений пограничного слоя невозможно при умеренной затрате времени, возникает необходимость применения приближенных способов, и притом иногда даже таких, которые оставляют желать лучшего в смысле точности. Для получения приближенных способов необходимо отказаться от требования, чтобы дифференциальные уравнения пограничного слоя удовлетворялись для каждой частицы жидкости, и ограничиться, во–первых, выполнением граничных условий и контурных связей на стенке и при переходе к внешнему течению и, во–вторых, выполнением только суммарного соотношения, получаемого из дифференциальных уравнений пограничного слоя как некоторое среднее по толщине слоя. Такое среднее дает уравнение импульсов, получающееся из уравнения движения посредством интегрирования по толщине пограничного слоя. Уравнением импульсов часто называется также интегральным соотношением Кармана.

Ограничимся случаем стационарного плоского течения несжимаемой жидкости. Проинтегрируем уравнение движения по у от у = 0 (стенка) до у = h, причем h выберем так, чтобы слой у = h лежал вне пограничного слоя; получим:

 

где τ₀ - касательное напряжение на стенке.

Вводя в расчет толщину вытеснения δ₁ и толщину потери импульса δ₂ в итоге получим:

Это и есть уравнение импульсов для плоского несжимаемого пограничного слоя.

Для того чтобы сделать представление о толщине вытеснения, толщине потери импульса и толщине потери энергии более наглядным, вычислим их для простого линейного распределения скоростей в пограничном слое (рис.1); мы получим для них следующие значения:
толщина вытеснения: δ₁ = ½^.δ,
толщина потери импульса: δ₂ = 1/6^.δ,
толщина потери энергии: δ₃ = ¼^.δ.

Пользуясь понятием пограничного слоя конечной толщины, поясним происхождение наименования «уравнение импульсов». С этой целью дадим другой, более близкий к приведенному в ранее цитированной работе Кармана вывод этого уравнения.

Применим теорему об изменении количества движения в форме Эйлера (теорему импульсов), к объему жидкости ABCD (рис.1), заключенному между двумя бесконечно близкими сечениями пограничного слоя АВ и CD с абсциссами х и х+dx, твердой стенкой AD и внешней границей слоя ВС. Обозначим через М и J соответственно секундную массу и проекцию на ось Ох секундного количества движения жидкости, протекающей через рассматриваемое сечение слоя АВ,

(1)

Тогда из условия сохранения массы будет следовать, что секундная масса, протекающая через отрезок границы слоя ВС, равна dM/dx^.dx.

Принимая во внимание, что на всем отрезке ВС внешней границы слоя можно с ошибкой высшего порядка малости принять скорость равной U, найдем, что проекция на ось Ох секундного количества движении, перекосимого жидкостью сквозь сечение ВС, равна U^.dM/dx^.dx.
Проекции на ось Ох внешних сил, приложенных к границам АВ, ВС, CD и AD, выбранного элемента объема будут соответственно равны

(2)

Применяя к контрольной поверхности ABCD теорему количеств движения в проекции на ось Ох, получим

(3)

или, откидывая малые величины второго порядка малости и деля после этого обе части на dx.

(4)

Подставлял сюда значения J и М получим

 

откуда уже нетрудно найти уравнение импульсов в форме

.(5)

Таким образом, мы убедились, что уравнение (5) действительно выражает теорему импульсов в проекции на продольную ось движения жидкости в пограничном слое.

Уравнение импульсов содержит три неизвестные величины: толщину вытеснения δ^* и толщину потери импульса δ^** и τ_w. Задаваясь формой профиля скоростей в сечениях пограничного слоя, мы получаем возможность свести эти три неизвестные к одной — параметру, определяющему вариации форм профилей скорости.

 

 

 

 

 

На   основании   уравнения   неразрывности   запишем уравнение для плоского пограничного слоя в виде

(1)

Умножив   обе   части   уравнения   неразрывности на U(х),  найдем

(2)

Вычитая   почленно  обе части предыдущего уравнения из только что полученного, придем к выражению

(3)

формальное интегрирование которого поперек слоя по у от нуля до бесконечности дает

(4)

здесь использовано обращение  в нуль  второго слагаемого из (3) при интегрировании, следующее из граничных  условии, а также асимптотическое стремление к нулю производной  du/dy   при y стремящейся к бесконечности.

Предполагая существование  интегралов

(5)

и допуская возможность замены порядка интегрирования и дифференцирования в первом интеграле  в левой   части (3), получим, вводя напряжение  трения на стенке

(6)

или, записав в развернутом виде производную в первом слагаемом.

(7)

Уравнение (7) в несколько иной форме было впервые выведено Карманом в работе, относящейся к 1921 г., и получило название «интегрального условна Кармана». В настоящее время его принято именовать « уравнением импульсов».