Параметрический резонанс – явление раскачки колебаний при периодическом изменении параметров тех элементов колебательной системы, в которых сосредоточивается энергия колебаний (реактивные или энергоемкие параметры). Параметрический резонанс возможен в колебательных системах различной природы. Например в электрическом колебательном контуре реактивными параметрами являются ёмкость С и индуктивность L, в которых запасены электрическая энергия W_э=q²/2С и магнитной энергии W_м=LI²/2 (где q – заряд на обкладках конденсатора, I – ток в катушке индуктивности). Собственные колебания в контуре без потерь с постоянными C и L происходят с частотой ω_о² = 1/LC. При этом полная энергия W = W_э +W_м, запасенная в контуре, остается неизменной, происходит лишь ее периодическая трансформация из электрической в магнитную и обратно с частотой 2ω_о. Изменение параметров C и L сопровождается работой внешних сил (накачка), приводит к изменению полной энергии системы. Если емкость C изменить скачком за время, малое по сравнению с периодом собственных колебаний T₀=2π²/ω₀ (рис.1а), то заряд скачком измениться не может (поскольку сила тока остается конечной величиной, рис.1б). В результате напряжение на емкости U=q/c (рис.1в) и электрическая энергия W_э изменяются обратно пропорционально C, причем совершаемая при этом работа пропорциональна q². Если изменять емкость C периодически в такт изменениям W_э (обусловленным собственными колебаниями), уменьшая ее в моменты когда q² и W_э максимальны, и увеличивая, когда эти величины равны нулю (рис.1) то в среднем за период над системой совершается положительная работа и, следовательно, полная энергия и амплитуда будут монотонно нарастать.

 

Параметрический резонанс наиболее эффективно проявляется при изменении параметров колебательной системы с периодом T_н, кратным полупериоду собственных колебаний T₀:

где n – целое число, ω_н=2π/T_н – частота накачки. Математически свободные колебания в таких системах описываются дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Например, в случае колебательного контура с переменной емкостью C(t) (в отсутствии омического сопротивления) уравнение относительного заряда q(t) имеет вид:

    (2)

(уравнение Хилла). согласно теореме Флоке общее решение (2) можно записать в виде:

    (3)

Где C_1,2 – произвольные коэффициенты, определяемые начальными условиями, φ(t) – периодичность функции с периодом T_н, α - коэффициент, зависящий от параметров системы. При выполнении условия (1) Reα ≠ 0 и один из членов (3) дает нарастающие во времени колебания. Наиболее быстрая раскачка имеет место при n=1, когда частота накачки ω_н равна частоте колебаний величин W_э и W_м в системе (2ω₀). Нарастание колебаний возможно не только при точном выполнении соотношений (1), но и в некоторых конечных интервалах значений ω_н вблизи 2ω₀/n (в зонах неустойчивости), ширина зон тем больше, чем сильнее изменяются параметры C и L. Изменение параметра, например емкости C, характеризуют величиной

называется глубиной параметра. В частном случае синусоидального изменения [уравнение (2) при этом называется уравнением Матье] в основной зоне (n=1) при m << 1 инкремент α равен

,

так что в середине зоны α = mω₀/4; во второй зоне (n=2)  α ~ m², в третьей α ~ m³, и так далее.

Существенная особенность параметрического резонанса в системах с распределёнными параметрами состоит в том, что его эффективность зависит от соотношения между законом изменения параметров системы в пространстве и пространственной структурой колебаний (волн). Например, если накачка, изменяющая параметры среды, представляет собой бегущую волну с частотой ω_н и волновым вектором k_н, то возбуждение пары нормальных волн с частотами ω₁, ω₂ и волновыми векторами k₁, k₂ осуществляется, если выполняются условия параметрического резонанса как во времени, так и в пространстве:

ω_н=ω₁ + ω₂;    k_н=k₁ + k₂ (4)

На квантовом языке эти условия означают, что при распаде кванта накачки сохраняются как энергия, так и импульс (ћk). Нарастание амплитуд волн во времени и пространстве (распадная неустойчивость) также ограничивается нелинейными эффектами: если значительная часть энергии накачки израсходована на возбуждение этих волн, то возможен обратный процесс — рост энергии накачки за счет ослабления волн на частотах ω₁, ω₂; в среде без потерь такой обмен энергией происходит периодически.

Параметрический резонанс от силового резонанса отличается формой резонансной кривой - вслучае параметрического возбуждения колебаний резонанс наблюдается в строго ограниченой полосе частот (которая определяется значением n и амплитудой изменения параметра), в то время как при силовом воздействии на систему можно добиться существования колебаний на любой частоте.