Для систем с идеальными удерживающими связями среди основных законов динамики формулируются теоремы об изменении количества движения системы и о движении ее центра масс. Эти теоремы верны и при наличии идеальных односторонних связей.
Количество движения системы. Это трехмерный вектор Q равный сумме количеств движения всех составляющих систему точек. Количество движения материальной точки – это трехмерный вектор MV, где M – масса точки, а V – трехмерный вектор ее скорости.

 

Cводный вектор координат точек системы x=(x₁,x₂,…,x_n) и сводный вектор сил F=(F₁,F₂,…,F_n), n=3N. И в этих терминах были выписаны уравнения Лагранжа первого рода. Кроме того, мы ввели вектор импульса системы P Є Rn. В этих обозначениях Q=XP, где X=(E3,E3,…,E3) - матрица 3×n, составленная из N экземпляров трехмерных единичных матриц E3. Мы будем использовать и то и другое описание, понимая, что они эквивалентны.
Теорема об изменении количества движения. Если удерживающие и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательный сдвиг всех точек системы как твердого тела вдоль какого-нибудь направления uЄR3 постоянного во времени, то проекция количества движения системы на это направление Qn=(Q,u) является абсолютно непрерывной функцией и скорость ее изменения равна Fn=(XF,u), т.е. равна суммарной проекции на это направление вектора активных сил.

 

Эта теорема непосредственно вытекает из аналогичного утверждения для сводных векторов системы.
Теорема об изменении вектора импульса. Если удерживающие и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательный сдвиг всех точек системы как твердого тела вдоль какого-нибудь направления vЄRn постоянного во времени, то проекция вектора импульса на это направление Pv=(P,v) является абсолютно непрерывной функцией и скорость ее изменения равна Fv=(F,v), т.е. равна проекции на это направление сводного вектора активных сил

 

Доказательство. Возьмем какую-либо траекторию движения системы x(t), tЄ[t0,t1]. Для нее выполнены уравнения Лагранжа первого рода. Используя вектор импульса системы P их можно переписать следующим образом

 

Условие теоремы означает, что в каждой точке конфигурационного пространства вектор v является возможным перемещением, т.е. Av=0 во все время движения и Gv=0 в тех точках траектории, которые расположены на границе односторонних связей, т.е. в тех точках, в которых сосредоточена мера dμ. Отсюда следует, что во все время движения (A’dη,v)=0 и (G’dμ,v)=0. Заметим, что эти равенства надо понимать как равенство мер Лебега-Стилтьеса. Домножив обе части на v, получаем

 

Поскольку Fv(x(t),x’(t),t) есть функция ограниченной вариации, то Pv(t) является абсолютно непрерывной функцией и выполнено. Доказательство закончено.
Возьмем v=(u,u,…,u), т.е. составим вектор vЄRn из N экземпляров вектора uЄR3. Если домножить теперь слева на X, то получим. Что доказывает теорему об изменении количества движения.
Обычными рассуждениями из теоремы об изменении количества движения выводится следующие утверждения.
Закон сохранения количества движения. Пусть выполняются указанные выше предположения о связях. Если суммарная проекция всех активных сил на направление u равна нулю, то во все время движения сохраняется значение проекции количества движения системы на это направление.