Собственными (свободными) колебаниями называются колебания, которые происходят в системе в отсутствие переменных внешних воздействий и возникают вследствие начального отклонения одного из параметров системы от состояния равновесия. В реальных макроскопических системах из-за потери энергии свободные колебания всегда затухают.

При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют принципу суперпозиции, согласно которому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы; такие движения описываются линейными (в частности, дифференциальными) уравнениями. Если система ещё и консервативна (в ней нет потерь или притока энергии извне), а ее параметры не изменяются во времени, то любое собственное колебание может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний синусоидально неменяющихся во времени с определенными собственными частотами.
Если положение системы в любое время может быть описано единственным параметром, то система имеет одну степень свободы. Примеры таких систем: маятник, колеблющийся в заданной плоскости, масса, связанная с пружиной, LC-цепочка (рис.1). Действительно, положение маятника может быть определено углом отклонения нити маятника от вертикали φ. Для LC-цепочки таким параметром может служить величина заряда на емкости. (Маятник, способный колебаться в любом направлении подобно гире, подвешенной на нити, имеет две степени свободы; нужны две координаты, чтобы задать его положение. Маятник в стенных часах закреплен так, что может качаться только в определенной плоскости и поэтому имеет одну степень свободы).

В природе существует множество интересных систем, имеющих две степени свободы. Наиболее красивы примеры молекул и элементарных частиц (особенно нейтральных К-мезонов). Более простыми примерами являются двойной маятник (один маятник подвешен к опоре, а второй—к гире первого маятника); два маятника, связанные пружиной; горизонтальная нить с двумя шариками; две связанные LC-цепи (рис. 2) . Чтобы описать состояние таких систем, нужны две переменные. Например,
в случае сферического маятника эти переменные — это положения маятника в двух взаимно перпендикулярных направлениях. В случае связанных маятников эти переменные соответствуют положениям каждого маятника; для двух связанных LC-цепей представляют собой заряды на двух емкостях или токи в обеих цепях.

В общем случае движение системы с двумя степенями свободы может иметь очень сложный вид, не похожий на простое гармоническое движение.
Для двух степеней свободы и при линейных уравнениях движения наиболее общее движение является суперпозицией двух независимых простых гармонических движений, происходящих одновременно. Эти два простых гармонических движения называются нормальными или собственными колебаниями или гармониками, а также нормальными модами колебаний или просто модами.

В колебательных системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из N связанных осцилляторов (например цепочка из колебательных электрических контуров или из соединенных упругими пружинками шариков), число нормальных мод равно N. В системах с распределёнными параметрами (струна, мембрана, по¬лый или открытый резонатор) таких колебаний существует бесконечное множество. Например, для струны с закрепленными концами длиной L моды отличаются числом полуволн, которые можно уложить на всей длине струны; L=nλ/2 (n=0, 1, 2, , . .). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собственных частот определится формулой

Наличие дисперсии волн (v=v(ω)) искажает это простое квазидистантное распределение частот, спектр которых определится уже из дисперсионного уравнения:

В реальных системах собственные колебания будут затухать из-за потерь, поэтому их можно считать приближённо гармоническими лишь в интервале времени, меньшем 1/δ. Затухающее колебание может быть представлено в виде пакета гармонических колебаний, непрерывно заполняющих интервал частот (ω₀±Δω) (интеграл Фурье), тем более узким, чем меньше δ. В этом случае говорит об уширении спектральной линии, иногда характеризуя её добротностью Q, равной отношению зарасенной энергии W к потерям P за период колебаний 2π/ ω. Таким образом сгущение спектра из-за потерь влечёт за собой превращение дискретного спектра в сплошной, когда ширина линий становится приближенно равно интервалу между ними.

Собственные колебания нелинейных систем менее доступны для классификации. Нелинейность систем с дискретным спектром собственных частот приводит к перекачке энергии по спектральным компонентам: при этом возникают процессы конкуренции мод — выживание одних и подавление других. Дисперсии могут стабилизировать эти процессы и принести к формированию устойчивых пространственно временных образований, примерами которых в системах с непрерывным спектром являются солитоны.

Особое значение при возбуждении колебаний имеет явление резонанса, состоящее в резком увеличении отклика системы (амплитуды колебаний) при приближеннии частоты внешнего воздействия к некоторой резонансной частоте, характеризующей систему. Если последняя линейна и параметры её не зависят от времени, то резонансные частоты совпадают с частотами её собственных колебаний и соответствующий отклик тем сильнее, чем выше добротность колебательной системы. Раскачка происходит до тех пор, пока энергия, вносимая извне (например, при каждом отклонении маятника), превышает потери за период осцилляции. Для линейных колебаний энергия, получаемая от источника, пропорциональна первой степени амплитуды, а потери растут пропорционально её квадрату, поэтому баланс энергий всегда достижим.



 

Измерения свободных колебаний производят, обычно с целью получения информации относительно собственных форм и частот, а также быстроты затухания колебаний. Такие измерения производят, например, при летных испытаниях головных образцов самолетов, причем начальное возмущение создается взрывом небольших зарядов. Другой, более распространенный способ заключается в резком перемещении ручек управления.  Раньше свободные колебания самолета при наземных испытаниях иногда возбуждали путем быстрого снятия статической нагрузки. При помощи натянутой веревки крыло выводилось из положения равновесия; затем веревка перерезалась, и можно было наблюдать свободные колебания.
Частоты, формы и коэффициенты затухания свободных колебаний фактически характеризуют "динамическую индивидуальность" системы. Поэтому если мы располагаем достаточной информацией относительно этих характеристик системы, то можно надеяться, что удастся предсказывать поведение системы в различных условиях.
Динамическая индивидуальность системы в значительной степени определяет ее поведение при возбуждении колебаний. Механические системы ведут себя так, как если бы они стремились непрерывно совершать свободные колебания с соответствующими собственными частотами. В нормальных условиях это невозможно из-за наличия трения, однако при действии некоторого возбуждения колебания будут поддерживаться.

 

Колебательный контур — электрическая цепь, содержащая параллельно соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).
Напряжение, возникающее в катушке при изменении протекающего тока равно

Аналогично для тока, вызванного изменением напряжения на конденсаторе:

Поскольку всё возникающее в катушке напряжение падает на конденсаторе, то u_L = u_C, а ток, вызванный конденсатором проходит через катушку, то i_C = i_L. Дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое, получаем

Это уравнение гармонического осциллятора с круговой частотой

(иначе она называется собственной частотой гармонического осциллятора). Решением такого уравнения является

 

Рассмотрим колебательные свойства пружинного маятника, представляющего собой материальную точку массы m, соединенную невесомой пружиной жёсткостью k с неподвижным подвесом (рис.1).

Пусть l₀ – длина пружины в ненагружённом состоянии. Если на пружину подвесить груз массы m, то под действием силы тяжести пружина растянется и её длина станет равной l. Если груз и пружина находятся в равновесии, то сила тяжести уравновешена силой упругости . Отсчитывая координату материальной точки от положения равновесия , уравнение движения пружины можно записать в виде

 

где

– частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота.