Интеграл Бернулли для установившегося движения тяжелой жидкости, когда из объемных сил действует только сила тяжести, называется уравнением Бернулли.

Подставив в левую часть интеграла Бернулли значение силовой функции для поля силы тяжести U=-gz, получим уравнение Бернулли в таком виде:

(1)

Уравнение Бернулли (1) можно вывести для элементарной жидкой струйки, находящейся в поле действия силы тяжести, непосредственно, независимо от интегрирования дифференциальных уравнений движения жидкости.

Для элементарного вывода уравнения Бернулли составим уравнение равновесия сил, приложенных к жидкой частице длиной δl и поперечным сечением δS, представляющей собой элемент жидкой струйки (рисунок 1) по ее длине l-l.

В центре тяжести частицы А будут приложены сила тяжести δG = γ δl δS и сила инерции . На концевых сечениях частицы будут приложены силы поверхностного давления, результирующая которых . Уравнние равновесия всех сил, составленное по направлению движения жидкой частицы, будет

   (2)

При движении жидкой частицы вдоль жидкой струйки скорость v является функцией двух переменных l и t, поэтому ее конвективная производная по времени будет равна

   (3)

Локальная производная скорости по времени равна нулю, поскольку движение принимают установившимся.

Подставляя значения отдельных величин в уравнение (2) и заменяя в нем cos(φ) соответствующим выражением -∂z/∂t, получим уравнение движения жидкой частицы в таком виде:

Поделив все члены этого уравнения на ρδlδS и перенеся их в одну сторону, будем иметь

Таким образом, уравнение установившегося движения эле-ментарной жидкой струйки будет

(4)

что равносильно уравнению (1), т. е. уравнению Бернулли. Условия, при которых получено уравнение (4), вполне тождественны условиям, при которых может быть получен интеграл Бернулли для движущейся жидкости. Иначе говоря, элементарный вывод уравнения Бернулли приводит к тем же результатам не только по форме, но также и по существу.

 

 

Геометрический смысл уравнения Бернулли легко можно установить, если в двух точках элементарной жидкой струйки, имеющих отметки z₁ и z₂ над плоскостью отсчета хоу (рисунок 1), отложить последовательно пьезометрические и скоростные высоты. Так как в любых двух точках по линии тока сумма трех высот одинакова, т. е

  (1)

концы суммарных отрезков достигнут некоторой плоскости АВ, параллельной плоскости отсчета. Эта горизонтальная плоскость АВ называется плоскостью полного гидродинамического напора или напорной плоскостью. Соответственно сумма трех высот: положения, пьезометрической и скоростной называется полным напором, который в идеальной жидкости постоянен по длине линии тока. Поэтому, составив уравнение (1) для заданного и произвольного сечений жидкой струйки, можно по заданным величинам в одном сечении определить любую из трех величин (давление, скорость, высоту положения) во втором сечении, если две другие из них известны.

Уравнение (1) используют для решения многих задач прикладной гидромеханики и. особенно гидравлики. Хотя уравнение Бернулли, строго говоря, относится или к движению идеальной жидкости вдоль линии тока, или к элементарной жидкой струйке, его распространяют на конечные жидкие объемы и, в частности, на движение жидкости в трубах. Такая возможность достигается благодаря энергетическому смыслу, которым обладает уравнение Бернулли.