Поскольку устранение сферической аберрации позволяло получить с помощью широких пучков лучей практически безаберрационные изображения осевых точек, можно было бы предположить, что тоже произойдет и для точек, находящихся в непосредственной близости от оси. Вопреки всем ожиданиям это оказалось не так. Немецкий ученый Эрнст Аббе показал, что разные зоны простой линзы образуют изображение плоского элемента с различным увеличением. Соответственные точки отдельных изображений объекта, образованных различными зонами, при наложении в целом изображении совпадают лишь на оси оптической системы. Вне оси, наоборот, они располагаются на большем или меньшем расстоянии друг от друга, и потому здесь не может образоваться резкого изображения. Для получения резкого изображения необходимо наряду с исправлением сферической аберрации для осевой точки оптической системы следить за тем, чтобы все зоны системы давали отдельные изображения объекта одинаковой величины. Аббе показал, что для этого должно быть выполнено определенное условие, названное им "условием синусов". Это условие устанавливает, что для всех лучей, выходящих из точки на оси оптической системы и направляющихся после преломления оптической системой к сопряженной точке изображения, отношение между синусами углов сопряженных лучей с осью должно быть постоянным:

n·sinu / n'·sinu' = y' / y = v

где n, n' – показатели преломления среды со стороны объекта и изображения; v =y' / y – увеличение оптической системы, которое должно оставаться постоянным для любой пары сопряженных лучей, исходящих из точки, лежащей на оси, и ограниченных углами u и u' с осью оптической системы (рис.1).

Две точки, для которых устранена сферическая аберрация и соблюдено условие синусов, называются со времен Аббе апланатическими. Аббе установил, что на оси оптической системы возможна только одна пара апланатических точек.

Аббе указал также простой способ выяснить, в какой мере выполнено условие синусов. Для этой цели Аббе сделал специальный рисунок (рис.2), который рассматривают сквозь испытуемую оптическую систему. Если условие синусов выполнено, то удается найти такое положение рисунка, при котором наблюдатель видит его изображение в виде прямоугольной сетки.

Испытав много микрообъективов микроскопов, сделанных "наугад" старыми мастерами, Аббе обнаружил, что у всех хороших объективов условие синусов выполнено. В настоящее время условие синусов Аббе всегда принимается во внимание при расчетах любых оптических систем.

 

До Аббе усилия многих оптиков были направлены на исправление осевых аберраций (сферических, хроматических, астигматизма). Ахроматизация оптических систем достигалась применением двух сортов оптического стекла (крона и флинта) с разной относительной дисперсией, благодаря чему получалось совмещение точек пересечения лучей двух длин волн (С и F). При этом оставались, естественно, хроматическая аберрация, обусловленная несовмещением точек пересечения для лучей разных цветов, и хроматическая разность сферической аберрации. Эти аберрации создавали слабые цветные ореолы вокруг контура объекта наблюдения; они получили название вторичного спектра.

Путем применения большого числа оптических поверхностей линз и использования полевого шпата Аббе в 1873 г. впервые удалось сконструировать объектив, у которого ахроматизация достигалась для трех цветов. Такой объектив был назван Аббе апохроматом (рис. 1). Для каждого сорта оптического стекла, применяемого Аббе для постройки апохроматов, им были определены показатели преломления для цветов В, D, E, F и .

В 1879 г. Аббе рассчитал объектив, названный им полуапохроматом. Этот объектив занимал промежуточное положение между ахроматами и апохроматами. У полуапохроматов благодаря применению линзы из флюорита была значительно улучшена хроматическая коррекция по сравнению с ахроматами.

В случае микроскопа объект располагается вблизи переднего фокуса объектива. Интерес представляет линейный размер деталей объекта, разрешаемых с помощью микроскопа. Изображение, даваемое объективом, располагается на достаточно большом расстоянии L<<F. У стандартных микроскопов L = 16 см, а фокусное расстояние объектива – несколько миллиметров. Объект может располагаться в среде, показатель преломления которой n > 1 (иммерсия).

Радиус пятна Эйри в плоскости изображения равен , где D – диаметр объектива. Следовательно, микроскоп позволяет разрешить две близкие точки объекта, находящиеся на расстоянии l, если центры их дифракционных изображений окажутся на расстоянии l', превышающим радиус дифракционного пятна (критерий Рэлея).

Здесь – угол, под которым виден радиус объектива из плоскости изображения.

Чтобы перейти к линейным размерам самого объекта, следует воспользоваться так называемым условием синусов Аббе, которое выполняется для любого объектива микроскопа:

При написании последнего выражения принята во внимание малость угла u'. Отсюда для предела разрешения объектива микроскопа получаем выражение: