Принцип Ферма – основной принцип геометрической оптики. Простейшая форма принципа Ферма – утверждение, что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, по которому время его прохождения меньше, чем по любому из всех других путей, соединяющих эти точки. Время прохождения светом расстояния l, заполненного средой с показателем преломления n, пропорционально оптической длине пути S; S = l•n для однородной среды, а при переменном n

Поэтому можно сказать, что принцип Ферма есть принцип наименьшей оптической длины пути. В первоначальной формулировке самого П. Ферма (около 1660) принцип имел смысл наиболее общего закона распространения света, из которого следовали все (к тому времени уже известные) законы геометрической оптики: для однородной среды он приводит к закону прямолинейности светового луча (в соответствии с геометрическим положением о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками), а для случая падения луча на границу различных сред из принципа Ферма можно получить законы отражения света и преломления света. В более строгой формулировке принцип Ферма представляет собой вариационный принцип, утверждающий, что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, по которой время его прохождения экстремально или одинаково по сравнению с временами прохождения по всем другим линиям, соединяющим эти точки. Это означает, что оптическая длина пути луча может быть не только минимальной, но и максимальной либо равной всем остальным возможным путям, соединяющим указанные точки. Примерами минимального пути служат упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение светом границы двух сред с разными показателями преломления n. Все три случая (минимальности, максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, анализируя отражение луча света от вогнутого зеркала (рис.1).

Если зеркало имеет форму эллипсоида вращения, а свет распространяется от одного его фокуса Р к другому Q (причём путь без отражения невозможен), то оптическая длина пути луча PO' + O'Q по свойствам эллипсоида равна всем остальным возможным, например PO'' + О'' Q; если на пути между теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны (MM), реализуется минимальный путь, если же большей (зеркало NN) – максимальный. Условие экстремальности оптической длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулю вариация от интеграла

,

где А и В – точки, между которыми распространяется свет. Это выражение и представляет собой математическую формулировку принципа Ферма.

В волновой теории света принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса – Френеля и применим, когда можно пренебречь дифракцией света (когда длина световой волны достаточно мала по сравнению с характерными для задачи размерами): рассматривая лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении света оптической длины их путей будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда необходимо учитывать дифракцию, принцип Ферма перестаёт быть применимым.

Принцип Ферма справедлив для любой неоднородной оптической среды с непрерывно изменяющимся показателем преломления. Здесь только следует сделать существенную оговорку: в неоднородной оптической среде две точки могут быть соединены несколькими лучами (примером может служить ход лучей при возникновении нижнего миража). Поэтому требуется уточнение формулировки принципа Ферма: время распространения света вдоль луча между двумя точками неоднородной оптической среды с непрерывно изменяющимся показателем преломления минимально по сравнению с временем распространения света вдоль любой бесконечно близкой траектории, соединяющей эти же точки.

Принцип Ферма объясняет ряд "оптических иллюзий": миражи – искривление световых лучей в слое нагревшегося у раскаленной поверхности песка или асфальта воздуха, "запаздывание" захода Солнца за горизонт вследствие искривления лучей неоднородной атмосферой и другие. В случае существования нескольких близких путей, требующих одинакового времени распространения света, лучи распространяются по каждому из них. На этом основано действие оптической линзы, собирающей испущенный точечным источником света пучок лучей в точку за счет "выравнивания" оптических длин путей.

При попадании светового луча внутрь стеклянного параллелепипеда принцип Ферма подскажет нам, на какой угол преломится луч. При строгом геометрическом решении этой задачи мы получим закон Снеллиуса, описывающий преломление света. Применив же его к отраженному от поверхности лучу, можно без труда, чисто геометрически, получить закон отражения света, согласно которому угол падения равен углу отражения.

Так же как и Ферма, Гюйгенс считал, что в плотной среде свет распространяется с меньшей скоростью, чем в вакууме. Пусть KF – плоскость, разделяющая две среды (рис.1), и точка A находится в менее плотной среде (например, в воздухе), а точка C – в более плотной среде (например, в воде). Пусть луч проходит из точки A через точку B, лежащую на границе, в точку C в соответствии с законом преломления

     (1)

где n₁, c₁, n₂, c₂ – показатели преломления и скорости распространения света в верхней и нижней средах соответственно. По предположению, n₁<n₂, c₁>c₂.

 

Требуется доказать, что время прохождения света по такому лучу самое короткое по сравнению с временем прохождения по любому другому преломленному лучу. Применим доказательство от противного. Допустим, что свет прошел по другому лучу AFC, так что точка F отстоит от точки A дальше, чем точка B. Проведем прямую FO', параллельную AB, и построим перпендикуляры AO и BH к этим прямым. Опустим также перпендикуляр FG на прямую BC. Из того, что равен , а равен (как углы с соответственно ортогональными сторонами), следует, что

    (2)

Поэтому, согласно (1), время распространения света по отрезку HF равно времени распространения по отрезку BG:

Таким образом, время прохождения света по лучу OF было бы равно времени прохождения света по пути ABG. Далее очевидно, что так как гипотенуза FC больше катета GC, то время прохождения по пути OFC больше, чем по пути ABC. Наконец, поскольку гипотенуза AF больше катета OF, то время прохождения света по пути AFC больше времени прохождения света по пути OFC и тем более по пути ABC. К аналогичному заключению можно прийти и в случае, когда точка F лежит левее точки B. Таким образом, время прохождения света по ABC самое короткое из возможных, что и требовалось доказать.

Интересно, что доказательству Гюйгенса закона преломления на основании его гипотезы о волновой природе света предшествовало рассуждение патера Меньяна "О солдатском фронте" (1648). Его использовал Исаак Барроу (1631 – 1667) в своих "Лекциях по математике и оптике" (1668), в подготовке к изданию которых участвовал Исаак Ньютон (1643 – 1727). (Ньютон был учеником и преемником Барроу по Лукасовской кафедре в Кембриджском университете.) Эти рассуждения очень просты и наглядны. Они сводятся к тому, что при переходе из одной среды в другую световой фронт меняет свое направление так же, как меняет направление шеренга солдат, когда луг, по которому идут солдаты, преграждается пашней и граница между пашней и лугом проходит под углом к шеренге. Скорость движения солдат по пашне меньше, чем по лугу. Для сохранения строя солдаты должны маршировать по параллельным линиям как при движении по лугу, так и по пашне. Рисунок, иллюстрирующий такое движение солдатского фронта, аналогичен тому, который использовал Гюйгенс для объяснения изменения волнового фронта при преломлении и который теперь воспроизводится во всех учебниках. Очевидно, что фронт солдат быстрее всего пересечет любое замеченное место на пашне, если направление шеренги будет подчиняться закону преломления. Таким образом, в этих рассуждениях фактически содержалось доказательство закона преломления на основании принципа Ферма