|
|
 |
|
Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии
|
Общий каталог эффектов
 | Колебания струны |
 |
Колебания струны
Описание
Струной называют тонкую гибкую нить, в которой с помощью внешних сил создано большое натяжение. Струна – простейшая колебательная система с распределенными параметрами. Малые поперечные смещения у точек струны от положения равновесия описываются волновым уравнением:
d2y/dx2=p/F*d2y/dt2 (1)
где F – сила натяжения, t – время, x – координата вдоль струны, p – линейная плотность струны. Согласно уравнению (1), ускорение некоторого элемента струны прямо пропорционально кривизне струны в области этого элемента. Решение уравнения (1) может быть представлено в виде бегущих волн, расходящихся из точки возбуждения в разные стороны:
y=1/2[f(x-ct)+f(x+ct)],
где c=(F/p)1/2 - скорость распространения возмущения. В точках закрепления струны происходят отражения волн, причем условия отражения зависят от податливости опор. В случае абсолютно жестких опор имеет место полное отражение и картина распределения смещений y повторяется через промежутки времени 2L/c, где L – длина струны, т.е. устанавливаются колебания с периодом T=c/2L. Наличие опор (граничные условия) определяет частоты возможных колебаний струны ωn, которые кратны наинизшей, основной частоте ω1= 2π/T, т.е. ωn=n ω1, n=1, 2, 3… Конкретная картина колебаний струны определяется не только граничными условиями, но и способом возбуждения струны.
При возбуждении в струне стоячих волн точки струны имеют разные амплитуды смещений, но движутся синхронно, прогибы всех точек одновременно достигаю своих максимальных и минимальных значений. Произвольное возмущение закрепленной волны может быть представлено в виде суммы ее собственных гармоничных колебаний с частотами ωn и амплитудами смещений Аn. Наибольшая энергия колебаний приходится на основную частоту ω1, а с увеличением номера n энергия собственных колебаний падает и становится тем меньше, чем больше номер частоты. Соответственно струна излучает звук, характеризуемый основным тоном и обертонами. Последние создают тональную окраску звука – тембр.
Полная энергия колебаний струны W определяется энергиями отдельных собственных колебаний и равна
W= ∑lρωn4Аn4/4.
Ее можно представить как сумму энергий осцилляторов с массами, равными половине массы струны и совершающими колебания с частотами ωn и амплитудами Аn.
При колебаниях струны в воздухе отдаваемая ею звуковая энергия невелика. Большая поверхность подставки, на которую закрепляется струна, направленная дека музыкальных инструментов, обуславливает более эффективное излучение звуковой энергии. Специфику звучания струнному музыкальному инструменту придает способ возбуждения струны. Так при возбуждении струны ударом основной тон насыщен обертонами, а при возбуждении щипком роль обертонов относительно невелика.
Колебания струны
Рис.1
Ключевые слова
Области техники и экономики
Используемые естественнонаучные эффекты
Разделы естественных наук используемых естественнонаучных эффектов
Применение эффекта
Наиболее известным примером колеблющихся струн являются музыкальные инструменты с использованием струн.
Струнный музыкальный инструмент — это музыкальный инструмент, в котором источником звука являются колебания струн. В системе Хорнбостеля — Закса они называются хордофонами. Типичными представителями струнных интрументов являются скрипка, виолончель, альт, контрабас, арфа и гитара, гусли, балалайка и домра.
Все струнные инструменты передают колебания от одной или нескольких струн воздуху через свой корпус (или через звукосниматель в случае с электронными инструментами). Обычно они разделяются по технике "запуска" колебаний в струне. Три наиболее распространённых техники — щипок, смычок и удар.
1. Щипок используется при солировании на таких инструментах, как гитара, балалайка, домра, гусли, уд, ситар, банджо и арфа, и осуществляется пальцем или плектром. Эта категория включает и клавишный инструмент клавесин, в котором струна дёргается язычком из пера (ныне — из пластика).
2. Смычковый метод звукоизвлечения используется при игре на скрипке, альте, виолончели и, реже, на контрабасе. Смычок состоит из древка со множеством натянутых между его концами волосков. Ведение смычком по струнам вызывает прерывистое перемещение (stick-slip phenomenon) струны по смычку, то есть вибрацию.
3. Третий распространённый способ звукоизвлечения при игре на струнных инструментах — удар молоточком по струне. Наиболее распространённый инструмент такого рода — фортепиано (иногда рассматриваемый как ударный инструмент), где молоточками управляет специальный механизм. Другой пример — цимбалы, где сам играющий держит молоточки.
Реализации эффекта
Рассмотрим струну длины l. При построении математической модели колебаний струны будем рассматривать малые колебания, происходящие в одной и той же плоскости. Пусть в состоянии покоя струна расположена вдоль оси Ox на отрезке [0,l] и при колебании каждая точка перемещается перпендикулярно оси (поперечные колебания). Тогда отклонение любой точки струны в произвольный момент времени U есть функция U(x,t) (рис.1).
График колебания струны
Рис.1
Предположим, что натяжение столь велико, что силой тяжести и сопротивлением при изгибе можно пренебречь. Кроме того, в силу малости колебаний, будем пренебрегать также величинами высшего порядка малости по сравнению с производной Ux.
Силы, действующие на струну
Рис.2
Выделим малый участок струны (рис.2) и рассмотрим силы, действующие на него. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение T(x,t) направлено по касательной к струне в точке x. Более того, в рамках наших предположений можно считать величину силы натяжения постоянной. В самом деле, длина любого участка струны (величиной Ux2 можно пренебречь). Следовательно, в соответствии с законом Гука │T(x,t)│=T0.
Пусть ρ(x)- линейная плотность в точке x, а γ(x,t)- плотность внешних сил, действующих на струну в момент времени t, и направленных перпендикулярно Ox.
Результирующая сила, действующая на участок струны [x,x+∆x] в направлении перпендикулярном оси OX, равна (рис.2)
F=T0sinΘ2- T0sinΘ1=T0[Ux(x+∆x,t)-Ux(x,t)]+ γ(x,t)∆x.
При выводе этой формулы учитываем, что при малых колебаниях
sin Θ1 ≈ tg Θ1=Ux(x,t); sin Θ2≈tg Θ2=Ux(x+Δx,t).
По второму закону Ньютона произведение массы на ускорение равно действующей силе mw=F, где w=Utt, поэтому
ρ∆xUtt=T0[Ux(x+ ∆x,t)-Ux(x,t)]+ γ(x,t) ∆x.
Разделим обе части равенства на Δx и устремим Δx к нулю:
ρ(x)Utt=T0[Ux(x+ ∆x,t)-Ux(x,t)]/∆x+ γ(x,t).
Получим
ρ(x)Utt = ToUxx + γ(x,t) (1)
Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний струны. Если струна однородная, то есть ρ(x)=const, то уравнение (1) обычно записывают в виде
Utt=a2Uxx+f(x,t),где a2 = T0/ ρ ; f(x,t)= γ(x,t) / ρ.
В том случае, когда на струну не действуют внешние силы, получается уравнение свободных колебаний струны
Utt = a2Uxx (2)
Уравнения (1) и (2) являются одномерными волновыми уравнениями (соответственно, неоднородным и однородным).
Ещё один вариант ударного способа используется при игре на клавикорде: медные тангеноты вдавливают струны в твёрдую поверхность, что заставляет их вибрировать от удара. То же самое может быть проделано на щипковом или смычковом инструменте; гитаристы называют этот приём восходящим легато (англ. hammer-on — стучать). После изобретения электронных звукоснимателей на гитарах стало возможно легко играть, извлекая полностью все звуки этим методом. Так как это можно делать обеими руками, это часто называется "двуручный тэппинг".
Клавикорд — небольшой старинный клавишный струнный ударно-зажимной музыкальный инструмент, один из предшественников фортепиано. Звук на клавикорде извлекается при помощи металлических штифтов с плоской головкой — тангенотов. Диапазон клавикорда менялся со временем. Так, изначально, он составлял 2 с половиной октавы, с середины XVI века — увеличился до 4-х, а в дальнейшем равнялся уже 5 октавам.
Клавикорд
Рис.1
Литература
1. Физическая энциклопедия / Гл. ред. А.М. Прохоров. Ред. кол.: Д.М. Алексеев, А.М. Балдин, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др.– М.: Большая Российская энциклопедия. Т.2
2. "Введение в теорию колебаний" Стрелков С.П. - М.: Наука, 1964.
