|
|
 |
|
Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии
|
Общий каталог эффектов
 | Колебания пластинок |
 |
Колебания пластинок
Анимация
Описание
Пластинки - тела, имеющие форму прямой призмы или прямого цилиндра, высота которого (толщина) мала по сравнению с размерами основания. По очертанию основания пластинки делятся на прямоугольные, круглые, эллиптические и т.д. Плоскость, делящая пополам толщину пластинки, называется срединной плоскостью.
В зависимости от характера действующих на пластинки нагрузок различают пластинки, работающие на изгиб от поперечной нагрузки и на растяжение – сжатие от нагрузки, действующей в срединной плоскости. При работе пластинки под нагрузкой, действующей в срединной плоскости, напряжения распределяются равномерно по толщине, т. е. пластинки работает в условиях более выгодных, чем в случае поперечной нагрузки. Однако при этом возможна потеря устойчивости пластинки и её обычно приходится подкреплять сетью рёбер жёсткости.
Важное значение имеет расчёт свободных и вынужденных колебаний пластинки.
Рассмотрим волны, излучаемые колеблющейся пластинкой. Волна, излучаемая пластинкой, изображается как пучок, заполняющий параллелепипед, основанием которого служит излучающая грань пластинки. Пучок тем тоньше, чем меньше грань. Это справедливо только в области достаточно больших значений волнового параметра
p=(r0λ)1/2/D (1)
где D - наибольший общий размер излучателя.
Излучающая грань разбивается мысленно на маленькие клетки площади dσ. Каждая такая клетка может рассматриваться как элементарный акустический излучатель. Она излучает сферическую волну, в которой давление описывается формулой
∆p=(adσ/r)* cos (ωt-kr+π/2) (2)
где для краткости введено обозначение
a=pωA/2π (3)
согласно принципу суперпозиции волна, излучаемая всей колеблющейся гранью пластинки, описывается формулой
∆p=a∫∫cos(ωt-kr+π/2) /r*dσ (4),
где двойной интеграл распространён на всю грань.
Излучение узкой пластинки с рассмотрения пластинки произвольной длины Dy, но ширина которой Dx мала по сравнению с длиной волны. Для такой пластинки можно выбрать элементарные клетки, и следовательно, двойной интеграл превращается в простой:
dσ=Dxdy (5)
∆p=aDx∫∫cos(ωt-kr+π/2) /r*dy (6)
y – ордината концов нашей узкой пластинки.
Волновым параметром здесь является величина равная
P=(r0λ)1/2/Dy (7)
где r0 – расстояние от точки наблюдения до середины пластинки.
Для области больших значений волнового параметра. То есть когда p значительно превышает единицу
r0 – r = ysinθ (8)
где θ – угол между направлениями наблюдения и плоскостью пластинки. Значит, получаем, что
∆p=b∫∫cos(ωt-kr+kysinθ+π/2) /rο*dy (9)
Итак, интенсивность убывает при фиксированном направлении наблюдения обратно пропорционально квадрату расстояния rο (сферическая волна), распределение интенсивности по направлениям не зависит от rο.
Для области средних и малых значений волнового параметра давление описывается формулой
∆p=a∫∫cos(ωt-kr+ky2/2R+π/2) /R*dy (10)
Ключевые слова
Области техники и экономики
Используемые естественнонаучные эффекты
Разделы естественных наук используемых естественнонаучных эффектов
Применение эффекта
Пластинки широко применяются в технике как элементы многих конструкций и сооружений, в стенах и перекрытиях, в фундаментах, мостах, гидротехнических сооружениях и т.д., являются одним из элементов корпуса корабля, самолёта, резервуара, а также многих машин и приборов. Пластинки используются в акустике в качестве элементов излучателей и приёмников звука, преград в звуковом поле и др.
Задачи об определении частот и форм собственных колебаний пластин и оболочек приводят к необходимости интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Наиболее хорошо изучены те случаи, когда оказывается возможным разделение переменных. К ним относятся, в частности, колебания прямоугольной пластины, шарнирно опертой по противолежащим сторонам, зонтичные и веерные колебания круглых осесимметричных пластин, колебания цилиндрических оболочек, замкнутых или шарнирно закрепленных вдоль образующих. Если разделение переменных оказывается невозможным, то для расчета, в основном, используют приближенные и численные методы.
Реализации эффекта
Как колебательные системы пластинки представляют интерес, прежде всего в акустике. Различают тонкие и толстые пластинки по сравнению с длиной упругих волн в них. В тонких пластинках возможны поперечные колебания (изгиба) и продольные колебания (растяжения), когда смещения ориентированы в плоскости пластинки. Изгиб в тонких пластинках не сопровождается растяжением её срединной плоскости, поэтому колебания изгиба и растяжения могут существовать независимо друг от друга. В толстых пластинках это не имеет места. Колебания таких пластинок можно представить как совокупность продольных и сдвиговых волн, распространяющихся в толще пластинки и отражающихся на обеих её сторонах.
В соответствии с двумя типами колебаний в неограниченной (гипотетической) пластинке могут распространяться поперечные и продольные волны. Для поперечных (изгибных) волн пластинка является системой, обладающей дисперсией: волны различной длины распространяются в ней с различными скоростями. Скорость продольных волн в тонкой пластинке не зависит от длины волны. Пластинка ограниченного размера обладает дискретным рядом собственных частот. Каждой собственной частоте соответствует своя собственная форма колебаний, наглядно изображаемая расположением узловых линий, где смещения в процессе колебаний равны нулю. Собственные частоты и формы колебаний зависят от размеров и формы пластинки, а также от условий закрепления её краев. Колеблющаяся пластинка сама является источником колебаний в той среде, в которой она находится. Эффективность излучения пластинки зависит от упругих свойств и плотности материала пластинки, а также от свойств среды, в которой она находится.
Литература
1. Большая Советская энциклопедия / Гл. ред. А.М. Прохоров. Ред. кол.: Н.К.Байбаков, В.Х. Василенко, Л.М. Володарский, В.В. Вольский и др.– М.: Советская энциклопедия.. Изд. "Советская энциклопедия". 1987 г.
2. Горелик Г.С., "Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику". М.:Физматлит, 2007.
