Стигматическое изображение (от греческого stigma, родительный падеж stigmatos – точка, укол) - оптическое изображение, каждая точка которого, соответствует, одной точке изображаемого оптической системой объекта. Строго говоря, подобное соответствие возможно лишь в идеальных оптических системах, при условии, что устранены все аберрации и можно пренебречь волновыми свойствами света, в частности дифракцией света. Для реальных оптических систем понятие стигматического изображения является лишь приближением, т.к. всякая реальная система изображает точку не точкой, а «пятном» или пространственной фигурой хотя и малых, но конечных размеров. Для параксиального пучка лучей основной аберрацией, нарушающей приближённую стигматичность изображения, является астигматизм

Абсолютная оптическая система – оптическая система, формирующая стигматическое изображение трехмерной области. Для формирования стигматического изображения необходимо, чтобы испущенные каждой точкой оптического объекта лучи после прохождения через оптическую систему все пересекались в одной точке. Следовательно, абсолютная оптическая система не нарушает гомоцентричности проходящих через нее световых пучков. Самим названием подчеркивается, что абсолютные оптические системы нельзя реализовать практически, хотя бы вследствие явления дифракции. Вводя это понятие, отвлекаются от недостатков, свойственных реальным оптическим приборам. Но такая идеализация может считаться допустимой, если учитывать, что реальные оптические системы подвергаются коррекции, при которой путем специального расчета негомоцентричность пучков сводится к минимуму (для данного положения оптического объекта).

Каждая точка предмета изображается абсолютной оптической системой тоже точкой, притом единственной. Вследствие обратимости хода световых лучей, можно поменять местами предмет и изображение; их взаимное расположение от этого не изменится. Поэтому две точки, являющиеся предметом и изображением друг друга, называют сопряженными. Следовательно, абсолютная оптическая система взаимно однозначно отображает одну область пространства – пространство предметов – в другую – пространство изображений. Физически эти области связаны посредством распространяющихся через абсолютную оптическую систему гомоцентрических пучков. Не следует считать, что пространства предметов и изображений четко разграничены. Как правило, пространства предметов и изображений наложены друг на друга и формально неограниченно простираются во всех направлениях. Часть пространства предметов, в которой практически могут находится оптические предметы (например, расположенная перед первой по ходу света поверхностью оптической системы), называют действительной частью пространства предметов. Часть пространства изображений, в которой могут возникать оптические изображения предметов (например, расположенная за последней по ходу света поверхностью оптической системы), называют действительной частью пространства изображений. Оставшиеся части обоих пространств называют виртуальными.

Любая линия представлена множеством точек, выстроенных таким образом, что каждая точка соседствует только с двумя другими. Непосредственно из определения изображения вытекает, что эти три точки будут смежными и в изображении линии. Следовательно, стигматическое изображение линии тоже будет линией, притом без самопересечений. Аналогично, стигматическое изображение поверхности будет поверхностью.

Соответствующие друг другу компоненты пространств предметов и изображений – точки, кривые (лучи), поверхности и т.п. – называют сопряженными. Символы компонентов и величин, относящихся к пространству изображений, дополняются штрихом наверху справа. Например, точка E′ является изображением точки E.
Для любой абсолютной оптической системы (в приближении геометрической оптики) справедлива теорема Максвелла: оптическая длина стигматического изображения линии равна оптической длине своего оригинала.

Если предметом является треугольник, то он будет изображаться абсолютной оптической системой неким криволинейным треугольником, причем из теоремы Максвелла вытекает, что их стороны будут пропорциональны. Следовательно, бесконечно малый треугольник изображается геометрически подобным треугольником. Поэтому углы между любыми двумя кривыми в предмете не изменяются в его изображении. Как известно, сохраняющее углы отображение называется конформным. Из общей теоремы Лиувилля следует, что конформным отображением трехмерной области в трехмерную область может быть только проективное преобразование (коллинеация), инверсия или их комбинация. Это доказывает теорему Каратеодори: отображение создаваемое абсолютной оптической системой, является либо проективным преобразованием, либо инверсией, либо их комбинацией.

Если пространства предметов и изображений заполнены оптически однородными и изотропными средами, то в таких средах, согласно геометрической оптике, траектории световых лучей прямолинейны. Следовательно, прямые линии изображаются прямыми, а отрезки – отрезками. Плоскость тоже будет изображаться плоскостью, так как две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость. Но, к примеру, окружность не обязательно будет изображаться абсолютной системой окружностью, а сфера – сферой.

Стигматическое изображение предмета называют идеальным, если оно геометрически подобно предмету. Идеальной называют и оптическую систему, формирующую идеальное изображение предмета. Предмет может быть двумерным (поверхностным, в частности, плоским), либо трехмерным (объемным). Соответственно различают двумерно–идеальные оптические системы, формирующие идеальные изображения некоторых поверхностей (таковыми, например, являются центрированные абсолютные оптические системы), и трехмерно–идеальные оптические системы, формирующие идеальные изображения не только определенных поверхностей, но и любых предметов.

Если пространства предметов и изображений однородны и их показатели преломления одинаковы, то из теоремы Максвелла следует, что стигматическое изображение конгруэнтно предмету. Единственным оптическим прибором, обеспечивающим такое отображение, является плоское зеркало (или комбинация плоских зеркал). Следовательно, трехмерно–идеальная оптическая система может состоять только из плоских зеркал. Таким образом, для получения нетривиального отображения друг в друга однородных областей с одинаковыми показателями преломления нельзя требовать строгого стигматизма или полного подобия изображения оригиналу.

Использование сугубо абстрактного понятия стигматического изображения позволяет создать теорию иконических оптических систем, в которой материальные оптические объекты заменены их геометрическими образами (точки, линии, поверхности, области). Эту простейшую теорию широко применяют для приближенного решения многих задач прикладной оптики.

Примером воображаемой абсолютной оптической системы является «Рыбий глаз» Максвелла. В СВЧ–диапазоне находит применение линза Люнеберга.

Линза Люнеберга - линзовая антенна с управляемым положением максимума диаграммы направленности в широком секторе углов. Предложена американским ученым Р. К. Люнебергом (Luneberg) в 1944. Линза Люнеберга применяется преимущественно в радиолокационных устройствах на сантиметровом диапазоне волн. Линза Люнеберга имеет сферическую или цилиндрическую форму и отличается тем, что коэффициент преломления материала линзы не остается постоянным по всей линзе, а зависит от расстояния до ее центра (сферическая линза Люнеберга) или оси (цилиндрическая линза Люнеберга). Эта зависимость подбирается так, что после прохождения через линзу волновой фронт получается плоским. Перемещением облучателя по поверхности линзы можно практически изменять направление максимального излучения в телесном угле до 2π при неизменной форме диаграммы направленности линзы Люнеберга.

Коррекция зрения осуществляется за счет четырех видов действия оптических линз.

Сферическое, или, как его еще называют, стигматическое действие. Оно заключается в перемещении фокуса вдоль оптической оси: положительные линзы (а) приближают, а отрицательные (б) – удаляют фокус от линзы.

Благодаря сферическому действию линз очки могут исправлять зрение при близорукости, дальнозоркости, при возрастном ослаблении зрения, при отсутствии хрусталика после операции катаракты. В первом случае назначают очки с отрицательными линзами, в остальных трех – с положительными. Астигматическое действие – изменение формы сходимости лучей – его обеспечивают линзы с цилиндрической поверхностью.

Благодаря такому действию линз очки исправляют зрение при астигматизме – дефекте, при котором глаз имеет не сферическую, а приближенно эллипсоидную форму. Если нормальный глаз может быть уподоблен апельсину, то астигматический глаз – лимону. Астигматизм обычно сочетается с другими дефектами зрения – близорукостью или дальнозоркостью, поэтому астигматические очки содержат чаще всего и сферические, и цилиндрические элементы.

Призматическое действие заключается в перемещении фокуса перпендикулярно к оптической оси (вправо, влево, вверх и вниз).

Благодаря ему можно исправлять такой дефект зрения, как неодинаковые размеры предмета, видимые каждым глазом. Эйконическое действие позволяет увеличивать изображение при заболевании световоспринимающей системы глаза – сетчатки и зрительного нерва.

Следует сказать, что первыми двумя видами действия линз пользуются намного чаще, чем остальными, однако все их используют для оптической коррекции зрения. Казалось бы, задача врача состоит в том, чтобы измерить величину каждого дефекта зрения и назначить очки с соответствующей комбинацией видов действия. На деле это не всегда возможно. Виды оптического действия линз, как правило, сопряжены. Все сферические линзы обладают уменьшением или увеличением, а на краю (периферии) линзы всегда имеются астигматическое и призматическое действие. Они вместо полезного начинают давать вредный, паразитный эффект, искажать восприятие окружающего мира.

«Рыбий глаз» Максвелла (1854) — абсолютная оптическая система, представляющая неоднородную сферически-симметричную среду, характеризующуюся показателем преломления

,

где r — расстояние до центра системы O, n₀ и a — параметры.

Каждый луч представляет собой окружность, не проходящую через O, или прямую, проходящую через O. Изображение точки, создаваемое системой, удобно строить по прямому лучу: все лучи из произвольной точки P₀ собираются в точке P₁, лежащей на прямой, которая соединяет P₀ с O; P₀ и P₁ расположены по разные стороны от O, и произведение

OP₀ • OP₁= a².

Следовательно, «рыбий глаз» Максвелла является абсолютной оптической системой, в которой отображение осуществляется преобразованием инверсии. Плоскость, не проходящая через O, изображается сферой.

В этой системе отсутствуют все аберрации, кроме дисторсии и кривизны поля изображения.